corda lligada pels extrems

Una corda de longitud $2$ m lligada pels extrems vibra en el segon harmònic amb una freqüència $f = 440$ Hz. Es demana calcular amb quina freqüència vibra el tercer harmònic i la velocitat de les ones estacionàries en aquesta corda.

En el segon harmònic, la corda vibra amb dues ventres i un nus al mig. Si la longitud de la corda és de $2$ m, aleshores la distància entre els dos ventres és d’1 m.

En general, la freqüència del harmònic $n$-èsim es pot calcular com:

$$f_n = \frac{n}{2L} v,$$

on $L$ és la longitud de la corda i $v$ és la velocitat de les ones en la corda.

Per trobar la freqüència del tercer harmònic, $n=3$:

$$f_3 = \frac{3}{2\cdot 2\text{ m}}v = \frac{3}{4}v.$$

Com que sabem que la freqüència del segon harmònic és de $440$ Hz, podem utilitzar la relació:

$$f_2 = \frac{2}{2L} v = \frac{1}{L} v = 440 \text{ Hz}.$$

Per tant, $v = 2L\cdot 440\text{ Hz} = 880\text{ m/s}$.

Ara podem substituir aquesta velocitat en la fórmula de la freqüència del tercer harmònic per obtenir:

$$f_3 = \frac{3}{4}v = \frac{3}{4} \cdot 880 \text{ Hz} = 660 \text{ Hz}.$$

Per tant, la freqüència del tercer harmònic és de $660$ Hz i la velocitat de les ones estacionàries en la corda és de $880$ m/s.