Problema 2 model 1 juliol 2024 Illes Balears

Sigui $I$ la matriu identitat d’ordre 3 × 3 i A la matriu\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \).

(a) Calcula la matriu \( B = 3A – kI_3 \), indicant la seva expressió en funció del paràmetre \( k \).

Per calcular la matriu \( B = 3A – kI_3 \), seguirem els passos següents: Donades les Matrius

• La matriu \( A \) és: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

• La matriu identitat \( I_3 \) d’ordre 3 × 3 és: \( I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Calcular \( 3A \)

Multipliquem la matriu \( A \) per 3:\( 3A = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 3 \end{pmatrix} \)

Calcular \( kI_3 \). Multipliquem la matriu identitat \( I_3 \) per \( k \):\( kI_3 = k \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{pmatrix} \)

Restem \( kI_3 \) de \( 3A \):\( B = 3A – kI_3 = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{pmatrix} \)

Realitzem la resta:\( B = \begin{pmatrix} 3 – k & 0 & 0 \\ 6 & 0 – k & 0 \\ -6 & 3 & 3 – k \end{pmatrix} \)

Resultat. La matriu \( B \) en funció del paràmetre real \( k \) és:\( B = \begin{pmatrix} 3 – k & 0 & 0 \\ 6 & -k & 0 \\ -6 & 3 & 3 – k \end{pmatrix} \)

(b) Discuteix el rang de la matriu \( B \) segons el paràmetre \( k \).

Per discutir el rang de la matriu \( B \) utilitzant determinants, calculem el determinant de \( B \) en funció del paràmetre \( k \). El rang de la matriu \( B \) pot ser determinat a partir del determinant de \( B \) i els determinants de les submatrius 2 × 2.

Matriu \( B \)

El determinant de \( B \) es calcula com:\( \det(B) = \begin{vmatrix} 3 – k & 0 & 0 \\ 6 & -k & 0 \\ -6 & 3 & 3 – k \end{vmatrix} \)Podem simplificar el càlcul del determinant utilitzant l’expansió per la primera fila, ja que hi ha zeros:\( \det(B) = (3 – k) \begin{vmatrix} -k & 0 \\ 3 & 3 – k \end{vmatrix} \)Calculem el determinant de la submatriu 2 × 2:\( \begin{vmatrix} -k & 0 \\ 3 & 3 – k \end{vmatrix} = (-k)(3 – k) – (0 \cdot 3) = -k(3 – k) \)Per tant:\( \det(B) = (3 – k) \cdot (-k(3 – k)) = -k(3 – k)^2 \)

Discusió del Rang

1. Rang de 3: El rang de la matriu \( B \) és 3 si el determinant és diferent de zero. Això ocorre quan:\( -k(3 – k)^2 \neq 0 \)

Condició:\( k \neq 0 \) i \( 3 – k \neq 0 \)\( k \neq 0 \) i \( k \neq 3 \)

Les submatrius 2 × 2 té determinant diferent de zero. Això ocorre quan:\( k = 0 \) o \( k = 3 \)

Per aquests casos, calculem els determinants de les submatrius 2 × 2:- Si \( k = 0 \):\( B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 3 \end{pmatrix} \)

El determinant de les submatrius 2 × 2 com:\( \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 3 \cdot 0 – 0 \cdot 6 = 0 \)\( \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -6 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 – 0 \cdot (-6) = 9 \)

El determinant de la submatriu 2 × 2 és diferent de zero, per tant el rang és 2.- Si \( k = 3 \):\( B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 6 & -3 & 0 \\ -6 & 3 & 0 \end{pmatrix} \)

El determinant de les submatrius 2 × 2 com:\( \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = 0 \cdot 3 – 0 \cdot (-3) = 0 \)\( \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 – 0 \cdot 3 = 0 \)

Resum

• Si \( k \neq 0 \) i \( k \neq 3 \), el rang de \( B \) és 3 perquè el determinant és diferent de zero.

• Si \( k = 0 \), el rang de \( B \) és 2 perquè el determinant de la submatriu 2 × 2 és diferent de zero.

• Si \( k = 3 \), el rang de \( B \) és 1 perquè el determinant de les submatrius 2 × 2 és zero i només 1 submatriu és no nul·la.

(c) Per a quins valors de \( k \) es pot calcular la inversa de \( B \)? Justifica la resposta.

Per determinar per quins valors de \( k \) es pot calcular la inversa de la matriu \( B \), hem de comprovar quan la matriu \( B \) és invertible. Una matriu és invertible si i només si el seu determinant és diferent de zero.

Determinant de ¥$B$. La matriu \( B \) és:\( B = \begin{pmatrix} 3 – k & 0 & 0 \\ 6 & -k & 0 \\ -6 & 3 & 3 – k \end{pmatrix} \)

La matriu \( B \) és invertible si el determinant no és zero:\( \det(B) = -k(3 – k)^2 \neq 0 \)

Anàlisi del Determinant. El determinant serà zero si alguna de les condicions següents es compleix:

1. \( k = 0 \):

• Si \( k = 0 \), el determinant és: \( \det(B) = -0 \cdot (3 – 0)^2 = 0 \)

• En aquest cas, la matriu \( B \) no és invertible.

2. \( 3 – k = 0 \):

• Si \( 3 – k = 0 \), llavors \( k = 3 \). El determinant serà: \( \det(B) = -3 \cdot (3 – 3)^2 = -3 \cdot 0 = 0 \)

• En aquest cas, la matriu \( B \) tampoc és invertible.

Resum. La matriu \( B \) és invertible per a tots els valors de \( k \) excepte: \( k = 0 \) i \( k = 3 \)

Això vol dir que la matriu \( B \) es pot invertir per a qualsevol valor de \( k \) diferent de 0 i 3.