Problema 1. Examen PAU matemàtiques ciències socials 2020

Un venedor d’una llibreria de vell cobra, a més a més d’un sou fix, diferents comissions depenent del tipus de llibre que ven. Cobra $1$ € per cada còmic, $1,5$ € per cada revista i $2$ € per cada novel·la. Ahir, va vendre el doble de revistes que de novel·les, $5$ còmics menys que revistes, i va aconseguir en total una comissió de $30$ €. Quantes publicacions va vendre de cada tipus?

Per resoldre el problema, definirem les variables per representar les vendes de cada tipus de publicació:

• $n$: nombre de novel·les venudes
• $r$: nombre de revistes venudes
• $c$: nombre de còmics venuts

Segons el problema, tenim les següents condicions:

1. El venedor va vendre el doble de revistes que de novel·les:
   $$r = 2n$$
2. Va vendre 5 còmics menys que revistes:
   $$c = r – 5$$
3. La comissió total és de $30$ €. La comissió es calcula així:
   $$\text{Comissió total} = 2n + 1.5r + c = 30$$

Ara substituïm les relacions $r$ i $c$ en la tercera equació. Primer, substituïm $r = 2n$:

$$c = r – 5 = 2n – 5$$

Ara substituïm $r$ i $c$ en l’equació de la comissió total:

$$2n + 1.5(2n) + (2n – 5) = 30$$

Això es simplifica a:

$$2n + 3n + 2n – 5 = 30$$

$$7n – 5 = 30$$

Ara, afegim $5$ a ambdós costats:

$$7n = 35$$

Dividint per $7$:

$$n = 5$$

Càlcul de les altres variables

Ara que tenim el nombre de novel·les venudes, podem calcular les revistes i còmics:

1. Nombre de revistes venudes:
   $$r = 2n = 2 \times 5 = 10$$
2. Nombre de còmics venuts:
   $$c = r – 5 = 10 – 5 = 5$$

Resultat Final

• Novel·les venudes: $n = 5$
• Revistes venudes: $r = 10$
• Còmics venuts: $c = 5$

El venedor va vendre $5$ novel·les, $10$ revistes i $5$ còmics.