Politja i pla inclinat

En la situació de la figura, en què la politja té una massa de $4,5$ kg i un diàmetre de $49$ cm, les masses dels cossos són $m_1 = 20$ kg i $m_2 = 16$ kg, l’angle del pla inclinat és de $45$° i el coeficient de fregament dinàmic que presenta el pla inclinat és $0,11$. Determineu l’acceleració angular de la politja, l’acceleració tangencial del sistema i les tensions a la corda.

Primer hem de determinar el sentit del moviment; si comparem $p_{1x}$ amb $p_2$:\begin{align*}p_{1x} &= m_1 g \sin \alpha = 20 \cdot 9,8 \cdot \sin 45^\circ = 138,59 \, \text{N} \\p_2 &= m_2 g = 16 \cdot 9,8 = 156,80 \, \text{N}\end{align*} Donat que $p_2 > p_{1x}$, el sentit del moviment és l’indicat a la figura. Dibuixem un esquema amb les forces que hi actuen, i apliquem les equacions de la dinàmica de translació a les masses i de rotació a la politja tot fent les matrius consideracions que a exemples anteriors.

Les forces que van a favor del moviment són positives, i les que van en sentit contrari, negatives; i prenem el mateix criteri per a les acceleracions i els moments; també substituïm la condició de lliscament a la politja, $a = R \alpha$, i el moment d’inèrcia en compte que és un disc, $I = \frac{1}{2} M R^2$: \begin{align*}m_1 (\sum F_{\text{ext}1}) &= m_1 a \rightarrow T_1 + p_{1x} + F_r = m_1 a \rightarrow T_1 – p_{1x} – F_r = m_1 a \\m_2 (\sum F_{\text{ext}2}) &= m_2 a \rightarrow p_2 + T_2 = m_2 a \rightarrow p_2 – T_2 = m_2 a \\\sum M_{\text{ext}} &= I \alpha \rightarrow M_{T_2} + M_{T_1} = I \alpha \rightarrow R T_2 – R T_1 = I \alpha \rightarrow R (T_2 – T_1) = I \alpha\end{align*}\[\begin{cases}T_1 – p_{1x} – F_r = m_1 a \\p_2 – T_2 = m_2 a \\T_2 – T_1 = \frac{1}{2} M a\end{cases}\]\[m_1 g – m_1 g \sin \alpha – \mu m_1 g \cos \alpha = m_1 a + m_2 a + \frac{1}{2} M a\]\[a = \frac{2 M_2 g – 2 M_1 g \sin \alpha – 2 \mu M_1 g \cos \alpha}{2 M_2 + 2 M_1 + M}\]\[a = \frac{2 \cdot (16 \cdot 9,8 – 20 \cdot \sin 45^\circ – 0,11 \cdot 20 \cdot \cos 45^\circ) \cdot 9,8}{2 \cdot 16 + 2 \cdot 20 + 4,5} = 0,08 \, \text{m/s}^2\]Ara calculem $\alpha$, $T_1$ i $T_2$:\[\alpha = \frac{a}{R} = \frac{0,08}{\frac{0,49}{2}} = 0,32 \, \text{rad/s}^2\]\begin{align*}T_1 – p_{1x} – F_r &= m_1 a \rightarrow T_1 = m_1 a + m_1 g \sin \alpha + \mu m_1 g \cos \alpha \rightarrow \\T_1 &= 20 \cdot (0,08 + 9,8 \cdot \sin 45^\circ + 0,11 \cdot 9,8 \cdot \cos 45^\circ) = 155,44\end{align*}\begin{align*}p_2 – T_2 &= m_2 a \rightarrow T_2 = p_2 – m_2 a = m_2 g – m_2 a = 16 \cdot (9,8 – 0,08) = 155,44\end{align*}