Problema de conservació de l’energia

Amb el principi de conservació de l’energia, determineu la velocitat amb què arriba al fons d’un pou un cubell d’aigua d’$1,5$ kg de massa ple amb $8$ L d’aigua. El cubell està inicialment a una altura sobre el nivell de l’aigua del pou d’$11$ m, agafat per una corda sense massa enrotllada en una politja en forma de roda de massa $3,5$ kg i diàmetre $43$ cm, la massa de la qual està concentrada en la seva perifèria. Quina és la velocitat angular de la politja quan el cubell arriba al fons del pou?

Prenem l’origen d’altures al fons del pou, just en el nivell de l’aigua, i, així, l’altura inicial del cubell és $h = 11$ m, mentre que la seva massa total inclou-hi l’aigua que conté $m = 1,5 \, \text{kg} + 8 \, \text{kg} = 9,5 \, \text{kg}$.La politja es considera com una roda, i, per tant, la seva forma és la d’una anella amb moment d’inèrcia $I = M R^2$, en què $M$ és la seva massa, i $R$, el seu radi. Les energies són:

Energia inicial: el sistema està en repòs de manera que no té energia cinètica inicial, i només hi ha energia potencial inicial del cubell, ja que la politja en no variar la seva altura, es considera que no té energia potencial ni al principi ni al final:

Energia final: el cubell té energia cinètica de translació, $E_{ct} = \frac{1}{2} m v^2$, la politja, de rotació, $E_{cr} = \frac{1}{2} I \omega^2$; el cubell no té energia potencial final, perquè ha arribat a l’origen d’energies potencials, que hem considerat que és el fons del pou al nivell de l’aigua: $E_f = E_{pt} + E_{ct} = 0 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$. Apliquem el principi de conservació de l’energia i tenim com a única condició de no lliscament, $v = R \omega$; el moment d’inèrcia de la politja:\[E_f – E_i = 0 \rightarrow \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = m g h \rightarrow m v^2 + M R^2 \left( \frac{v}{R} \right)^2 = 2 m g h \rightarrow\]\[m v^2 + M v^2 = 2 m g h \rightarrow v^2 (m + M) = 2 m g h \rightarrow v_f = \sqrt{\frac{2 m g h}{m + M}}\]\[v_f = \sqrt{\frac{2 \cdot 9,5 \cdot 9,8 \cdot 11}{9,5 + 3,5}} = 12,55 \, \text{m/s}\]La velocitat angular és:\[\omega = \frac{v_f}{R} = \frac{12,55}{\frac{0,43}{2}} = 58,38 \, \text{rad/s}\]