Problema sobre la màquina d’Atwood

En una màquina d’Atwood la politja es compon de dos discs units a un mateix eix de radi 35 cm i 25 cm que giren solidàriament, i de moment d’inèrcia conjunt de valor 5 kg m², dels quals pengen dues masses de 950 g i 1,25 kg, respectivament. Calculeu les tensions i les acceleracions angular i tangencial.

Efectuem un esquema amb les forces que hi actuen.

Primer hem de determinar el sentit del moviment, ja que si bé la massa $m_2$ és més gran que $m_1$, el radi sobre el qual s’aplica $T_2$ és més petit, i cal fer una estimació dels valors dels moments $M_{n1}$ i $M_{n2}$ per tal de determinar el sentit del moviment; així, si suposem que el sistema es mou amb velocitat angular $\alpha$, llavors:\begin{align*}T_1 &= p_1 = m_1 g \\M_{n1} &= T_1 R_1 = m_1 g R_1 = 0,95 \cdot 9,8 \cdot 0,35 = 3,26 \, \text{N m} \\T_2 &= p_2 = m_2 g \\M_{n2} &= T_2 R_2 = m_2 g R_2 = 1,25 \cdot 9,8 \cdot 0,25 = 3,06 \, \text{N m}\end{align*}Per tant, com que $M_{n1} > M_{n2}$, el sistema es mou de tal manera que la politja composta gira en sentit antihorari, la massa $m_1$ cau i la massa $m_2$ puja.Així doncs, el moment de la tensió $T_1$, $M_{n1}$, com que va a favor del moviment, es considera positiu, mentre que el moment de la tensió $T_2$, $M_{n2}$, com que va en contra del moviment, es considera negatiu. Apliquem les equacions de la dinàmica de translació a les masses i de rotació a la politja, en què suposem que les forces que van a favor del moviment són positives, i les que van en sentit contrari, negatives; i prenem el mateix criteri per a les acceleracions, però tenint en compte ara que les acceleracions sobre cada massa $a_1$ i $a_2$ no són iguals, ja que les acceleracions tangencials a la politja són diferents en haver-hi un radi $R$ també diferent per a cada força de tensió, de manera que la condició de no lliscament és ara $a_1 = \alpha R_1$, $a_2 = \alpha R_2$:\begin{align*}m_1 (\sum F_{\text{ext}1}) &= m_1 a_h \rightarrow p_1 + T_1 = m_1 a_1 \rightarrow m_1 g – T_1 = m_1 a_1 \\m_2 (\sum F_{\text{ext}2}) &= m_2 a_h \rightarrow p_2 + T_2 = m_2 a_2 \rightarrow -T_2 – p_2 = m_2 a_2 \\\sum M_{\text{ext}} &= I \alpha \rightarrow M_{n1} + M_{n2} = I \alpha \rightarrow R_1 T_1 – R_2 T_2 = I \alpha\end{align*}\[\begin{cases}p_1 – T_1 = m_1 a_1 = m_1 \alpha R_1 \\T_2 – p_2 = m_2 a_2 = m_2 \alpha R_2 \\T_1 R_1 – T_2 R_2 = I \alpha\end{cases}\]\[\begin{cases}T_1 = m_1 g – m_1 \alpha R_1 \\T_2 = m_2 g + m_2 \alpha R_2 \\T_1 R_1 – T_2 R_2 = I \alpha\end{cases}\] Substituïm les dues primeres equacions en la tercera, i determinem $\alpha$:\[(m_1 g – m_1 \alpha R_1) R_1 – (m_2 g + m_2 \alpha R_2) R_2 = I \alpha\]\[0,95 \cdot 9,8 \cdot 0,35 – 0,95 \cdot 0,35^2 \alpha – 1,25 \cdot 9,8 \cdot 0,25 – 1,25 \cdot 0,25^2 \alpha = 5 \alpha \rightarrow \alpha = 0,61 \, \text{rad/s}^2\]Finalment calculem les tensions $T_1$ i $T_2$ amb les dues primeres equacions:\begin{align*}T_1 &= m_1 g – m_1 \alpha R_1 = 0,95 \cdot 9,8 – 0,95 \cdot 0,61 \cdot 0,35 = 9,11 \, \text{N} \\T_2 &= m_2 g + m_2 \alpha R_2 = 1,25 \cdot 9,8 + 1,25 \cdot 0,61 \cdot 0,25 = 12,44 \, \text{N}\end{align*}