Les màquines espatllades a una fábrica

Una fàbrica té un total de $12$ màquines. Se sap, d’experiències anteriors, que cada màquina s’espatlla un dia de cada $10$. Calcular la probabilitat que un cert dia més de $3$ màquines estiguin espatllades.

Com que realitzem 12 vegades l’experiment aleatori de comprovar si la màquina està espatllada i la probabilitat que estigui espatllada és \(\frac{1}{10} = 0,1\), llavors la variable aleatòria $X =$ “nº de màquines espatllades” $\to B(12; 0,1)$. La llei de probabilitat és \(p_k = p(X = k) = \binom{12}{k} 0,1^k 0,9^{12-k}\), amb \(k = 0, 1, 2, 3, \ldots, 12\).

Se’ns demana:

$$p(X > 3) = 1 – \{p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3)\} =$$ $$= 1 – \left[\binom{12}{0} 0,1^0 0,9^{12} – \binom{12}{1} 0,1^1 0,9^{11} – \binom{12}{2} 0,1^2 0,9^{10} – \binom{12}{3} 0,1^3 0,9^9\right] =$$ $$= 1 – 1,1 \cdot 0,9^{12} – 12 \cdot 0,1 \cdot 0,9^{11} – 66 \cdot 0,1^2 0,9^{10} – 220 \cdot 0,1^3 0,9^9 \approx 0,0256 = 2,56\%$$