Probabilitat guanyador cursa de cavalls

En una cursa participen els cavalls \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\). S’estima que la probabilitat que guanyi \(A\) és el doble de la probabilitat que guanyi cadascun dels altres tres. Trobar la probabilitat que guanyi \(B\) o \(C\).

Siguin els esdeveniments:

• \(A = \text{guanya } A\)
• \(B = \text{guanya } B\)
• \(C = \text{guanya } C\)
• \(D = \text{guanya } D\)

Sabem que \(p(A) = 2p(B) = 2p(C) = 2p(D)\). Llavors, \(p(B) = p(C) = p(D) = x\) i \(p(A) = 2x\). Com que \[p(A) + p(B) + p(C) + p(D) = 1 \implies 2x + x + x + x = 1 \implies x = \frac{1}{5}.\] Per tant, \(p(A) = \frac{2}{5}\) i \(p(B) = p(C) = p(D) = \frac{1}{5}\). Al ser cada parell d’esdeveniments incompatibles (perquè no poden guanyar al mateix temps dos cavalls), \[p(B \cup C) = p(B) + p(C) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0,4 = 40\%,\] que és la probabilitat que es demana.