Probabilitat cabells i ulls castanys

En una ciutat, el 40% de la població té els cabells castanys, el 25% té els ulls castanys i el 15% té els cabells i els ulls castanys. S’escull una persona a l’atzar, calcular: a) Si té els cabells castanys, quina és la probabilitat que també tingui els ulls castanys? b) Si té els ulls castanys, quina és la probabilitat que no tingui els cabells castanys? c) Quina és la probabilitat que no tingui ni els cabells ni els ulls castanys?

Siguin \(C = \text{“tenir els cabells castanys”}\), \(O = \text{“tenir els ulls castanys”}\). Segons l’enunciat, \(p(C) = 40\% = 0,4\); \(p(O) = 25\% = 0,25\), \(p(C \cap O) = 15\% = 0,15\).

a) Se li demana \(p(O|C) = \frac{p(C \cap O)}{p(C)} = \frac{0,15}{0,4} = 0,375 = 37,5\%\).

b) Se li demana \(p(C^c|O) = 1 – p(C|O) = 1 – \frac{p(C \cap O)}{p(O)} = 1 – \frac{0,15}{0,25} = 0,6 = 60\%\).

c) Com que \(p(C \cup O) = p(C) + p(O) – p(C \cap O) = 0,4 + 0,25 – 0,15 = 0,5\), usant una de les lleis de Morgan, \(p(C^c \cap O^c) = p[(C \cup O)^c] = 1 – p(C \cup O) = 1 – 0,5 = 0,15 = 50\%\), que és la probabilitat que se li demana. Llavors, la probabilitat que se li demana és \(p(A \cup C) = 1 – 0,84 = 0,16 = 16\%\).