FEA de la xarxa cristal·lina FCC

Trobeu el Factor d’Empaqutement Atòmic (FEA) de l’estructura FCC

El factor d’empaquetament atòmic (FEA) per a una estructura cúbica centrada en les cares (FCC) és la fracció del volum de la cel·la unitat que està ocupada per àtoms.

Passos per calcular el factor d’empaquetament:

1. Volum ocupat pels àtoms dins la cel·la unitat (volum atòmic): En una estructura FCC, hi ha $4$ àtoms per cel·la unitat.

• El volum d’un àtom es pot calcular utilitzant la fórmula del volum d’una esfera: $$V_{\text{àtom}} = \frac{4}{3}\pi R^3$$ On $R$ és el radi atòmic.
• Com que hi ha $4$ àtoms per cel·la unitat, el volum total ocupat pels àtoms és: $$V_{\text{total àtoms}} = 4 \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{16}{3}\pi R^3$$

1. Volum de la cel·la unitat: En una estructura FCC, el paràmetre de xarxa $a$ està relacionat amb el radi atòmic $R$ per la fórmula: $$a = 2\sqrt{2}R$$ El volum de la cel·la unitat $V_{\text{cel·la}}$ és: $$V_{\text{cel·la}} = a^3 = (2\sqrt{2}R)^3 = 16\sqrt{2}R^3$$
2. Càlcul del factor d’empaquetament (FEA): El factor d’empaquetament atòmic es defineix com la relació entre el volum ocupat pels àtoms i el volum de la cel·la unitat: $$\text{APF} = \frac{V_{\text{total àtoms}}}{V_{\text{cel·la}}}$$ Substituïm les expressions per $V_{\text{total àtoms}}$ i $V_{\text{cel·la}}$: $$\text{APF} = \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2}R^3}$$ Simplifiquem: $$\text{APF} = \frac{\frac{16}{3}\pi}{16\sqrt{2}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}$$ Ara substituïm el valor de $\pi$ i $\sqrt{2}$: $$\text{APF} = \frac{3.1416}{3 \times 1.414} = \frac{3.1416}{4.242} \approx 0.74$$

Resposta final:

El factor d’empaquetament atòmic (FEA) per a una estructura FCC és $0.74$, o el $74\%$ del volum de la cel·la unitat està ocupat per àtoms.