Equacions matricials

Resoldre l’equació $A \cdot X = B$; $$A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\text{ ; } B=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$$

Per resoldre l’equació de la forma $A \cdot X = B$, on $A$ i $B$ són matrius donades, podem trobar la matriu $X$ multiplicant ambdues parts de l’equació per la inversa de $A$:

$$X = A^{-1} \cdot B$$

Pas 1: Calcular la inversa de $A$

Donada la matriu

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},$$

la inversa d’una matriu $2 \times 2$ es calcula com:

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix},$$

on $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.

Càlcul del determinante de $A$:

$$\text{det}(A) = ad – bc = (2)(2) – (3)(1) = 4 – 3 = 1$$

Càlcul de la inversa:

Substituint els valors a la fórmula:

$$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Pas 2: Calcular $X$

Ara que tenim la inversa de $A$, podem calcular $X$:

$$X = A^{-1} \cdot B$$

On:

$$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 2 & -5 \end{pmatrix}.$$

Ara, multipliquem $A^{-1}$ i $B$:

$$X = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}.$$

Realitzem la multiplicació:

$$X = \begin{pmatrix}
2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 1 + (-3) \cdot (-5) \\
(-1) \cdot 3 + 2 \cdot 2 & (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-5)
\end{pmatrix}$$

Calculant cada element:

1. Primer element:
   $$2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 6 – 6 = 0.$$
2. Segon element:
   $$2 \cdot 1 + (-3) \cdot (-5) = 2 + 15 = 17.$$
3. Tercer element:
   $$(-1) \cdot 3 + 2 \cdot 2 = -3 + 4 = 1.$$
4. Quart element:
   $$(-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-5) = -1 – 10 = -11.$$

Per tant, la matriu $X$ és:

$$X = \begin{pmatrix}
0 & 17 \\
1 & -11
\end{pmatrix}.$$

Resultat Final

La solució de l’equació $A \cdot X = B$ és:

$$X = \begin{pmatrix}
0 & 17 \\
1 & -11
\end{pmatrix}.$$