Cálculo de la matriz inversa

Cálculo de la matriz inversa
22 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Hallar la inversa de la matriz:
$$\begin{pmatrix}
3 & -2 & -3 \\
-4 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

Para calcular la inversa de la matriz

$$A = \begin{pmatrix}
3 & -2 & -3 \\
-4 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

usaremos la definición de la inversa a través del método de adjunta (también conocido como el método de cofactores). Este método consiste en calcular el determinante de la matriz, los cofactores, la adjunta y, finalmente, la inversa. Aquí está el procedimiento paso a paso:

Paso 1: Cálculo del determinante de $A$

El determinante de una matriz $3 \times 3$ se calcula como sigue:

$$\text{det}(A) = 3(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 0) – (-2)(-4 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) + (-3)(-4 \cdot 0 – 1 \cdot 2) = 5$$

Por lo tanto, el determinante es:

$$\text{det}(A) = 5$$

Paso 2: Cálculo de la matriz de cofactores

Ahora vamos a calcular la matriz de cofactores $C_{ij}$ para cada elemento de $A$.

  1. Cofactor $C_{11}$:

$$C_{11} = \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = (1)(1) – (-1)(0) = 1$$

  1. Cofactor $C_{12}$:

$$C_{12} = -\begin{vmatrix}
-4 & -1 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = -((-4)(1) – (-1)(2)) = -(-4 + 2) = 2$$

  1. Cofactor $C_{13}$:

$$C_{13} = \begin{vmatrix}
-4 & 1 \\
2 & 0
\end{vmatrix} = (-4)(0) – (1)(2) = -2$$

  1. Cofactor $C_{21}$:

$$C_{21} = -\begin{vmatrix}
-2 & -3 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = -((-2)(1) – (-3)(0)) = 2$$

  1. Cofactor $C_{22}$:

$$C_{22} = \begin{vmatrix}
3 & -3 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = (3)(1) – (-3)(2) = 3 + 6 = 9$$

  1. Cofactor $C_{23}$:

$$C_{23} = -\begin{vmatrix}
3 & -2 \\
2 & 0
\end{vmatrix} = -((3)(0) – (-2)(2)) = -4$$

  1. Cofactor $C_{31}$:

$$C_{31} = \begin{vmatrix}
-2 & -3 \\
1 & -1
\end{vmatrix} = (-2)(-1) – (-3)(1) = 2 + 3 = 5$$

  1. Cofactor $C_{32}$:

$$C_{32} = -\begin{vmatrix}
3 & -3 \\
-4 & -1
\end{vmatrix} = -((3)(-1) – (-3)(-4)) = -(-3 – 12) = 15$$

  1. Cofactor ( C_{33} ):

$$C_{33} = \begin{vmatrix}
3 & -2 \\
-4 & 1
\end{vmatrix} = (3)(1) – (-2)(-4) = 3 – 8 = -5$$

Paso 3: Matriz de cofactores

La matriz de cofactores es:

$$\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
2 & 9 & 4 \\
5 & 15 & -5
\end{pmatrix}$$

Paso 4: Matriz adjunta

La matriz adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores:

$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
2 & 9 & 15 \\
-2 & 4 & -5
\end{pmatrix}$$

Paso 5: Cálculo de la inversa

Finalmente, la inversa de ( A ) se puede calcular usando la fórmula:

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)$$

Sustituyendo el determinante y la matriz adjunta:

$$A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
2 & 9 & 15 \\
-2 & 4 & -5
\end{pmatrix}$$

Multiplicando cada elemento por $\frac{1}{5}$:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 1 \\
\frac{2}{5} & \frac{9}{5} & 3 \\
-\frac{2}{5} & \frac{4}{5} & -1
\end{pmatrix}$$

Resultado Final

Por lo tanto, la inversa de la matriz $A$ es:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 1 \\
\frac{2}{5} & \frac{9}{5} & 3 \\
-\frac{2}{5} & \frac{4}{5} & -1
\end{pmatrix}$$

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Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

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