LEMNISCATA
Matemàtiques
Para calcular la inversa de la matriz
$$A = \begin{pmatrix}
3 & -2 & -3 \\
-4 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
usaremos la definición de la inversa a través del método de adjunta (también conocido como el método de cofactores). Este método consiste en calcular el determinante de la matriz, los cofactores, la adjunta y, finalmente, la inversa. Aquí está el procedimiento paso a paso:
El determinante de una matriz $3 \times 3$ se calcula como sigue:
$$\text{det}(A) = 3(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 0) – (-2)(-4 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) + (-3)(-4 \cdot 0 – 1 \cdot 2) = 5$$
Por lo tanto, el determinante es:
$$\text{det}(A) = 5$$
Ahora vamos a calcular la matriz de cofactores $C_{ij}$ para cada elemento de $A$.
$$C_{11} = \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = (1)(1) – (-1)(0) = 1$$
$$C_{12} = -\begin{vmatrix}
-4 & -1 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = -((-4)(1) – (-1)(2)) = -(-4 + 2) = 2$$
$$C_{13} = \begin{vmatrix}
-4 & 1 \\
2 & 0
\end{vmatrix} = (-4)(0) – (1)(2) = -2$$
$$C_{21} = -\begin{vmatrix}
-2 & -3 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = -((-2)(1) – (-3)(0)) = 2$$
$$C_{22} = \begin{vmatrix}
3 & -3 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = (3)(1) – (-3)(2) = 3 + 6 = 9$$
$$C_{23} = -\begin{vmatrix}
3 & -2 \\
2 & 0
\end{vmatrix} = -((3)(0) – (-2)(2)) = -4$$
$$C_{31} = \begin{vmatrix}
-2 & -3 \\
1 & -1
\end{vmatrix} = (-2)(-1) – (-3)(1) = 2 + 3 = 5$$
$$C_{32} = -\begin{vmatrix}
3 & -3 \\
-4 & -1
\end{vmatrix} = -((3)(-1) – (-3)(-4)) = -(-3 – 12) = 15$$
$$C_{33} = \begin{vmatrix}
3 & -2 \\
-4 & 1
\end{vmatrix} = (3)(1) – (-2)(-4) = 3 – 8 = -5$$
La matriz de cofactores es:
$$\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
2 & 9 & 4 \\
5 & 15 & -5
\end{pmatrix}$$
La matriz adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores:
$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
2 & 9 & 15 \\
-2 & 4 & -5
\end{pmatrix}$$
Finalmente, la inversa de ( A ) se puede calcular usando la fórmula:
$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)$$
Sustituyendo el determinante y la matriz adjunta:
$$A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
2 & 9 & 15 \\
-2 & 4 & -5
\end{pmatrix}$$
Multiplicando cada elemento por $\frac{1}{5}$:
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 1 \\
\frac{2}{5} & \frac{9}{5} & 3 \\
-\frac{2}{5} & \frac{4}{5} & -1
\end{pmatrix}$$
Por lo tanto, la inversa de la matriz $A$ es:
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 1 \\
\frac{2}{5} & \frac{9}{5} & 3 \\
-\frac{2}{5} & \frac{4}{5} & -1
\end{pmatrix}$$