Càlcul de matrius inverses

Càlcul de matrius inverses
22 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Hallar las matrices inversas de: $$A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 8 & 3\end{pmatrix}\text{ ; }B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} \text{ ; } C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Per calcular la inversa de la matriu $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$, seguirem els passos utilitzant la fórmula per a una matriu $2 \times 2$.

Fórmula general per a una matriu $2 \times 2$:

Per a una matriu $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la seva inversa, si existeix, es calcula amb la següent fórmula:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

On $\det(A) = ad – bc$ és el determinant de la matriu.

Pas 1: Identificar els elements de la matriu

En el nostre cas, la matriu $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$. Llavors:

  • $a = 3$
  • $b = 1$
  • $c = 8$
  • $d = 3$

Pas 2: Calcular el determinant de la matriu $A$

El determinant es calcula com:

$$\det(A) = ad – bc = (3 \times 3) – (8 \times 1) = 9 – 8 = 1$$

Com que el determinant és $1$, la matriu té inversa (si el determinant fos zero, la matriu no tindria inversa).

Pas 3: Aplicar la fórmula de la inversa

Ara podem aplicar la fórmula per obtenir la matriu inversa:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
= \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$$

Simplificant, tenim:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$$

Pas 4: Conclusió

Així, la inversa de la matriu $A$ és:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$$

Aquest és el resultat final, i cada pas segueix directament de la fórmula per a una matriu $2 \times 2$.

Per calcular la inversa de la matriu ( B ), que és una matriu ( 3 \times 3 ), utilitzarem el mètode de cofactores i el càlcul del determinant. Aquí tens el procés pas a pas per trobar la inversa de la matriu:

$$B = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 1 \\
4 & -2 & 1
\end{pmatrix}$$

Pas 1: Determinant de la matriu $B$

El determinant d’una matriu $3 \times 3$ es calcula expandint segons qualsevol fila o columna. Farem servir la primera fila:

$$\det(B) = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} – 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$$

A continuació, calculem els determinants de les submatrius $2 \times 2$.

  • $\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = (3 \times 1) – (1 \times -2) = 3 + 2 = 5$
  • $\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = (0 \times 1) – (1 \times 4) = 0 – 4 = -4$
  • $\det\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} = (0 \times -2) – (3 \times 4) = 0 – 12 = -12$

Substituïm aquests valors en la fórmula del determinant:

$$\det(B) = 2 \cdot 5 – 1 \cdot (-4) + 2 \cdot (-12) = 10 + 4 – 24 = -10$$

El determinant de $B$ és $\det(B) = -10$.

Pas 2: Trobar la matriu adjunta

Per trobar la inversa de $B$, necessitem calcular la seva adjunta $\text{Adj}(B)$. Aquesta es troba mitjançant els cofactors de cada element de la matriu.

Cofactors de la primera fila:

  • El cofactor de $b_{11}$ (element 2) és $C_{11} = \det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = 5$
  • El cofactor de $b_{12}$ (element 1) és $C_{12} = -\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 4$ (signe canviat)
  • El cofactor de $b_{13}$ (element 2) és $C_{13} = \det\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} = -12$

Cofactors de la segona fila:

  • El cofactor de $b_{21}$ (element 0) és $C_{21} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = -5$
  • El cofactor de $b_{22}$ (element 3) és $C_{22} = \det\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -6$
  • El cofactor de $b_{23}$ (element 1) és $C_{23} = -\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} = 8$

Cofactors de la tercera fila:

  • El cofactor de $b_{31}$ (element 4) és $C_{31} = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = -5$
  • El cofactor de $b_{32}$ (element -2) és $C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -2$
  • El cofactor de $b_{33}$ (element 1) és $C_{33} = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 6$

La matriu de cofactors és:

$$C = \begin{pmatrix}
5 & 4 & -12 \\
-5 & -6 & 8 \\\
-5 & -2 & 6
\end{pmatrix}$$

Pas 3: Transposar la matriu de cofactors

La transposada de la matriu de cofactors és la matriu adjunta $\text{Adj}(B)$:

$$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix}
5 & -5 & -5 \\
4 & -6 & -2 \\
-12 & 8 & 6
\end{pmatrix}$$

Pas 4: Calcular la inversa

Finalment, la inversa de $B$ es calcula com:

$$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{Adj}(B) = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} 5 & -5 & -5 \\ 4 & -6 & -2 \\ -12 & 8 & 6 \end{pmatrix}$$

$$B^{-1} = \frac{1}{-10} \cdot \begin{pmatrix} 5 & -5 & -5 \\ 4 & -6 & -2 \\ -12 & 8 & 6 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\
\frac{6}{5} & – \frac{4}{5} & – \frac{3}{5}\end{pmatrix}$$

Conclusió:

Aquesta és la inversa de la matriu $B$:

$$B = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\
\frac{6}{5} & – \frac{4}{5} & – \frac{3}{5}\end{pmatrix}$$

Per calcular la inversa de la matriu ( C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix} ) mitjançant la definició de la inversa d’una matriu, seguirem el mètode que implica el càlcul del determinat i la matriu de cofactores.

Pas 1: Càlcul del determinat de ( C )

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

El determinat es calcula com:

$$\text{det}(C) = 1(0 \cdot 0 – (-1) \cdot (-1)) – 1(2 \cdot 0 – (-1) \cdot (-6)) + 2(2 \cdot (-1) – 0 \cdot (-6))$$

Calculant cada terme:

$$= 1(0 – 1) – 1(0 – 6) + 2(-2 – 0)$$
$$= 1(-1) – 1(-6) + 2(-2)$
$$= -1 + 6 – 4 = 1$$

El determinat $\text{det}(C) = 1$.

Pas 2: Matriu de cofactores

La matriu de cofactores $\text{Cof}(C)$ es calcula eliminant la fila i la columna de cada element i calculant el determinat de la matriu resultant:

  1. Cofactor $C_{11}$:
    $$C_{11} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (0)(0) – (-1)(-1) = -1 \quad \Rightarrow \quad \text{Cof}(C)_{11} = -1$$
  2. Cofactor $C_{12}$:
    $$C_{12} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} = (2)(0) – (-1)(-6) = -6 \quad \Rightarrow \quad \text{Cof}(C)_{12} = 6$$
  3. Cofactor $C_{13}$:
    $$C_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) – (0)(-6) = -2 \quad \Rightarrow \quad \text{Cof}(C)_{13} = -2$$
  4. Cofactor $C_{21}$:
    $$C_{21} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) – (2)(-1) = 2 \quad \Rightarrow \quad \text{Cof}(C)_{21} = -2$$
  5. Cofactor $C_{22}$:
    $$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) – (2)(-6) = 12 \quad \Rightarrow \quad \text{Cof}(C)_{22} = 12$$
  6. Cofactor $C_{23}$:
    $$C_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) – (1)(-6) = 5 \quad \Rightarrow \quad \text{Cof}(C)_{23} = -5$$
  7. Cofactor $C_{31}$:
    $$C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) – (2)(0) = -1 \quad \Rightarrow \quad \text{Cof}(C)_{31} = -1$$
  8. Cofactor $C_{32}$:
    $$C_{32} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) – (2)(2) = -1 – 4 = -5 \quad \Rightarrow \quad \text{Cof}(C)_{32} = 5$$
  9. Cofactor $C_{33}$:
    $$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 2 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) – (1)(2) = -2 \quad \Rightarrow \quad \text{Cof}(C)_{33} = -2$$

Matriu de Cofactors

La matriu de cofactores és:

$$\text{Cof}(C) = \begin{pmatrix}
-1 & 6 & -2 \\
-2 & 12 & -5 \\
-1 & 5 & -2
\end{pmatrix}$$

Pas 3: Matriu adjunta

La matriu adjunta és la transposada de la matriu de cofactores:

$$\text{adj}(C) = \begin{pmatrix}
-1 & -2 & -1 \\
6 & 12 & 5 \\
-2 & -5 & -2
\end{pmatrix}$$

Pas 4: Càlcul de la inversa

La inversa de la matriu $C$ es calcula com:

$$C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \cdot \text{adj}(C)$$

Dins el nostre cas, com que $\text{det}(C) = 1$:

$$C^{-1} = \text{adj}(C) = \begin{pmatrix}
-1 & -2 & -1 \\
6 & 12 & 5 \\
-2 & -5 & -2
\end{pmatrix}$$

Conclusió

La inversa de la matriu $C$ és:

$$C^{-1} = \begin{pmatrix}
-1 & -2 & -1 \\
6 & 12 & 5 \\
-2 & -5 & -2
\end{pmatrix}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *