LEMNISCATA
Matemàtiques
Per calcular la inversa de la matriu $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$, seguirem els passos utilitzant la fórmula per a una matriu $2 \times 2$.
Per a una matriu $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la seva inversa, si existeix, es calcula amb la següent fórmula:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
On $\det(A) = ad – bc$ és el determinant de la matriu.
En el nostre cas, la matriu $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$. Llavors:
El determinant es calcula com:
$$\det(A) = ad – bc = (3 \times 3) – (8 \times 1) = 9 – 8 = 1$$
Com que el determinant és $1$, la matriu té inversa (si el determinant fos zero, la matriu no tindria inversa).
Ara podem aplicar la fórmula per obtenir la matriu inversa:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
= \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$$
Simplificant, tenim:
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$$
Així, la inversa de la matriu $A$ és:
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$$
Aquest és el resultat final, i cada pas segueix directament de la fórmula per a una matriu $2 \times 2$.
Per calcular la inversa de la matriu ( B ), que és una matriu ( 3 \times 3 ), utilitzarem el mètode de cofactores i el càlcul del determinant. Aquí tens el procés pas a pas per trobar la inversa de la matriu:
$$B = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 1 \\
4 & -2 & 1
\end{pmatrix}$$
El determinant d’una matriu $3 \times 3$ es calcula expandint segons qualsevol fila o columna. Farem servir la primera fila:
$$\det(B) = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} – 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$$
A continuació, calculem els determinants de les submatrius $2 \times 2$.
Substituïm aquests valors en la fórmula del determinant:
$$\det(B) = 2 \cdot 5 – 1 \cdot (-4) + 2 \cdot (-12) = 10 + 4 – 24 = -10$$
El determinant de $B$ és $\det(B) = -10$.
Per trobar la inversa de $B$, necessitem calcular la seva adjunta $\text{Adj}(B)$. Aquesta es troba mitjançant els cofactors de cada element de la matriu.
La matriu de cofactors és:
$$C = \begin{pmatrix}
5 & 4 & -12 \\
-5 & -6 & 8 \\\
-5 & -2 & 6
\end{pmatrix}$$
La transposada de la matriu de cofactors és la matriu adjunta $\text{Adj}(B)$:
$$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix}
5 & -5 & -5 \\
4 & -6 & -2 \\
-12 & 8 & 6
\end{pmatrix}$$
Finalment, la inversa de $B$ es calcula com:
$$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{Adj}(B) = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} 5 & -5 & -5 \\ 4 & -6 & -2 \\ -12 & 8 & 6 \end{pmatrix}$$
$$B^{-1} = \frac{1}{-10} \cdot \begin{pmatrix} 5 & -5 & -5 \\ 4 & -6 & -2 \\ -12 & 8 & 6 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\
\frac{6}{5} & – \frac{4}{5} & – \frac{3}{5}\end{pmatrix}$$
Aquesta és la inversa de la matriu $B$:
$$B = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\
\frac{6}{5} & – \frac{4}{5} & – \frac{3}{5}\end{pmatrix}$$
Per calcular la inversa de la matriu ( C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix} ) mitjançant la definició de la inversa d’una matriu, seguirem el mètode que implica el càlcul del determinat i la matriu de cofactores.
$$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
El determinat es calcula com:
$$\text{det}(C) = 1(0 \cdot 0 – (-1) \cdot (-1)) – 1(2 \cdot 0 – (-1) \cdot (-6)) + 2(2 \cdot (-1) – 0 \cdot (-6))$$
Calculant cada terme:
$$= 1(0 – 1) – 1(0 – 6) + 2(-2 – 0)$$
$$= 1(-1) – 1(-6) + 2(-2)$
$$= -1 + 6 – 4 = 1$$
El determinat $\text{det}(C) = 1$.
La matriu de cofactores $\text{Cof}(C)$ es calcula eliminant la fila i la columna de cada element i calculant el determinat de la matriu resultant:
La matriu de cofactores és:
$$\text{Cof}(C) = \begin{pmatrix}
-1 & 6 & -2 \\
-2 & 12 & -5 \\
-1 & 5 & -2
\end{pmatrix}$$
La matriu adjunta és la transposada de la matriu de cofactores:
$$\text{adj}(C) = \begin{pmatrix}
-1 & -2 & -1 \\
6 & 12 & 5 \\
-2 & -5 & -2
\end{pmatrix}$$
La inversa de la matriu $C$ es calcula com:
$$C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \cdot \text{adj}(C)$$
Dins el nostre cas, com que $\text{det}(C) = 1$:
$$C^{-1} = \text{adj}(C) = \begin{pmatrix}
-1 & -2 & -1 \\
6 & 12 & 5 \\
-2 & -5 & -2
\end{pmatrix}$$
La inversa de la matriu $C$ és:
$$C^{-1} = \begin{pmatrix}
-1 & -2 & -1 \\
6 & 12 & 5 \\
-2 & -5 & -2
\end{pmatrix}$$