Ecuaciones matriciales

Dadas las matrices:
$$
A=\begin{pmatrix}
2 & 0\\
-4 & 15
\end{pmatrix}
\quad\text{ ; }\quad
B=\begin{pmatrix}
1 & -1\\
-2 & 9
\end{pmatrix}
$$
Resolver el sistema matricial:
$$
\left\{\begin{aligned}
5X+3Y&=A \\
3X+2Y&=B
\end{aligned}\right.
$$
y calcular $X^2+Y^2$

Para resolver el sistema matricial:
$$\begin{aligned}
5X + 3Y &= A \\
3X + 2Y &= B
\end{aligned}$$
donde $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 15 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$, seguimos los siguientes pasos.

1. Escribir el sistema en términos de matrices

Las ecuaciones del sistema son:
$$5X + 3Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 15 \end{pmatrix}$$
$$3X + 2Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$$

2. Resolver el sistema para $X$ y $Y$

Para resolver este sistema, podemos usar el método de sustitución o eliminación. Empezamos multiplicando la primera ecuación por $2$ y la segunda por $3$ para que podamos eliminar $Y$ al restarlas.

Multiplicamos la primera ecuación por $2$:
$$10X + 6Y = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -8 & 30 \end{pmatrix}$$

Multiplicamos la segunda ecuación por $3$:
$$9X + 6Y = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 27 \end{pmatrix}$$

Restamos las dos ecuaciones para eliminar $Y$:
$$(10X + 6Y) – (9X + 6Y) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -8 & 30 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 27 \end{pmatrix}$$
$$X = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ -2 & 3 \end{pmatrix}$$

Ahora sustituimos este valor de $X$ en una de las ecuaciones originales para encontrar $Y$. Usamos la segunda ecuación:
$$3X + 2Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$$
Sustituyendo $X = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$:
$$3 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} + 2Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$$
Calculamos el producto:
$$\begin{pmatrix} 3 & 9 \ -6 & 9 \end{pmatrix} + 2Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -2 & 9 \end{pmatrix}$$
Restamos $\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$ de ambos lados:
$$2Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 9 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$$
$$2Y = \begin{pmatrix} -2 & -10 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$$
Dividimos entre $2$:
$$Y = \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$

3. Calcular $X^2 + Y^2$

Ahora que tenemos $X$ y $Y$, calculamos $X^2$ y $Y^2$, y luego sumamos los resultados.

3.1. Calcular $X^2$

$$X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$
Multiplicamos las matrices:
$$X^2 = \begin{pmatrix} 1(1) + 3(-2) & 1(3) + 3(3) \ -2(1) + 3(-2) & -2(3) + 3(3) \end{pmatrix}$$
$$X^2 = \begin{pmatrix} 1 – 6 & 3 + 9 \\ -2 – 6 & -6 + 9 \end{pmatrix}$$
$$X^2 = \begin{pmatrix} -5 & 12 \ -8 & 3 \end{pmatrix}$$

3.2. Calcular $Y^2$

$$Y^2 = \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$
Multiplicamos las matrices:
$$Y^2 = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + (-5)(2) & (-1)(-5) + (-5)(0) \\ (2)(-1) + (0)(2) & (2)(-5) + (0)(0) \end{pmatrix}$$
$$Y^2 = \begin{pmatrix} 1 – 10 & 5 + 0 \\ -2 + 0 & -10 + 0 \end{pmatrix}$$
$$Y^2 = \begin{pmatrix} -9 & 5 \\ -2 & -10 \end{pmatrix}$$

3.3. Calcular $X^2 + Y^2$

$$X^2 + Y^2 = \begin{pmatrix} -5 & 12 \\ -8 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9 & 5 \\ -2 & -10 \end{pmatrix}$$
Sumamos las matrices:
$$X^2 + Y^2 = \begin{pmatrix} -5 – 9 & 12 + 5 \\ -8 – 2 & 3 – 10 \end{pmatrix}$$
$$X^2 + Y^2 = \begin{pmatrix} -14 & 17 \\ -10 & -7 \end{pmatrix}$$

Resultado final

El valor de $X^2 + Y^2$ es:
$$X^2 + Y^2 = \begin{pmatrix} -14 & 17 \\ -10 & -7 \end{pmatrix}$$