Sistema d’equacions

Resoleu el següent sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{rcl}x + y + z &=& 6 \\ 2x – y + 3z &=& 14 \\ -x + 4y – z &=& 2\end{array}\right.$$

El sistema d’equacions donat és:

$$\left\{\begin{array}{rcl}x + y + z &=& 6 \\ 2x – y + 3z &=& 14 \\ -x + 4y – z &=& 2\end{array}\right.$$

El determinant de la matriu de coeficients és:

$$D = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 3 \\
-1 & 4 & -1
\end{vmatrix} = -5$$

Els determinants per a $x$, $y$ i $z$ són:

$$D_x = \begin{vmatrix}
6 & 1 & 1 \\
14 & -1 & 3 \\
2 & 4 & -1
\end{vmatrix} = 12, \quad
D_y = \begin{vmatrix}
1 & 6 & 1 \\
2 & 14 & 3 \\
-1 & 2 & -1
\end{vmatrix} = -8, \quad
D_z = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 6 \\
2 & -1 & 14 \\
-1 & 4 & 2
\end{vmatrix} = -34$$

Per tant, les solucions del sistema utilitzant la regla de Cramer són:

$$x = \frac{D_x}{D} = \frac{12}{-5} = -2.4, \quad
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-8}{-5} = 1.6, \quad
z = \frac{D_z}{D} = \frac{-34}{-5} = 6.8$$

Així, la solució del sistema és: $$\left( -\frac{12}{5}, \frac{8}{5}, \frac{34}{5} \right)$$