LEMNISCATA
Matemàtiques
Resoleu els següents sistemes d’equacions
Sistema 1:
$$\begin{cases}
2x + 3y = 6 \\
x – y = 4
\end{cases}$$
Sistema 2:
$$\begin{cases}
x + 2y = 5 \\
3x – y = 7
\end{cases}$$
Sistema 3:
$$\begin{cases}
4x – y = 1 \\
2x + 3y = 12
\end{cases}$$
Sistema 4:
$$\begin{cases}
x – 4y = -2 \\
5x + y = 11
\end{cases}$$
Sistema 5:
$$\begin{cases}
3x + y = 9 \\
2x – 5y = -8
\end{cases}$$
Sistema 6:
$$\begin{cases}
5x + 2y = 14 \\
3x – y = 4
\end{cases}$$
Sistema 7:
$$\begin{cases}
x + y = 3 \\
2x – 3y = -1
\end{cases}$$
Sistema 8:
$$\begin{cases}
6x – 4y = 8 \\
x + 5y = 7
\end{cases}$$
Sistema 9:
$$\begin{cases}
7x + 3y = 18 \\
2x – 6y = -12
\end{cases}$$
Sistema 10:
$$\begin{cases}
4x + y = 11 \\
x – 3y = -5
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
2x + 3y = 6 \\
x – y = 4
\end{cases}$$
Substitució: De la segona equació obtenim $x = y + 4$.
Substituïm aquest valor de $x$ en la primera equació:
$$2(y + 4) + 3y = 6 \implies 2y + 8 + 3y = 6 \implies 5y = -2 \implies y = -\frac{2}{5}$$
Ara substituïm $y = -\frac{2}{5}$ en $x = y + 4$:
$$x = -\frac{2}{5} + 4 = \frac{18}{5}$$
Solució: $x = \frac{18}{5}, y = -\frac{2}{5}$.
$$\begin{cases}
x + 2y = 5 \
3x – y = 7
\end{cases}$$
Substituïm $x = 5 – 2y$ de la primera equació a la segona:
$$3(5 – 2y) – y = 7 \implies 15 – 6y – y = 7 \implies -7y = -8 \implies y = \frac{8}{7}$$
Substituïm $y = \frac{8}{7}$ en la primera equació:
$$x + 2\left(\frac{8}{7}\right) = 5 \implies x + \frac{16}{7} = 5 \implies x = 5 – \frac{16}{7} = \frac{19}{7}$$
Solució: $x = \frac{19}{7}, y = \frac{8}{7}$.
$$\begin{cases}
4x – y = 1 \\
2x + 3y = 12
\end{cases}$$
Despeguem $y$ de la primera equació: $y = 4x – 1$.
Substituïm aquest valor a la segona equació:
$$2x + 3(4x – 1) = 12 \implies 2x + 12x – 3 = 12 \implies 14x = 15 \implies x = \frac{15}{14}$$
Substituïm $x = \frac{15}{14}$ en $y = 4x – 1$:
$$y = 4\left(\frac{15}{14}\right) – 1 = \frac{60}{14} – 1 = \frac{46}{14} = \frac{23}{7}$$
Solució: $x = \frac{15}{14}, y = \frac{23}{7}$.
$$\begin{cases}
x – 4y = -2 \\
5x + y = 11
\end{cases}$$
Despeguem $x = 4y – 2$ de la primera equació i el substituïm a la segona:
$$5(4y – 2) + y = 11 \implies 20y – 10 + y = 11 \implies 21y = 21 \implies y = 1$$
Substituïm $y = 1$ en $x = 4y – 2$:
$$x = 4(1) – 2 = 2$$
Solució: $x = 2, y = 1$.
$$\begin{cases}
3x + y = 9 \\
2x – 5y = -8
\end{cases}$$
Despeguem $y = 9 – 3x$ i el substituïm a la segona equació:
$$2x – 5(9 – 3x) = -8 \implies 2x – 45 + 15x = -8 \implies 17x = 37 \implies x = \frac{37}{17}$$
Substituïm $x = \frac{37}{17}$ en $y = 9 – 3x$:
$$y = 9 – 3\left(\frac{37}{17}\right) = \frac{153}{17} – \frac{111}{17} = \frac{42}{17}$$
Solució: $x = \frac{37}{17}, y = \frac{42}{17}$.
$$\begin{cases}
5x + 2y = 14 \\
3x – y = 4
\end{cases}$$
Despeguem $y = 3x – 4$ i el substituïm a la primera equació:
$$5x + 2(3x – 4) = 14 \implies 5x + 6x – 8 = 14 \implies 11x = 22 \implies x = 2$$
Substituïm $x = 2$ en $y = 3x – 4$:
$$y = 3(2) – 4 = 2$$
Solució: $x = 2, y = 2$.
$$\begin{cases}
x + y = 3 \\
2x – 3y = -1
\end{cases}$$
Despeguem $x = 3 – y$ i el substituïm a la segona equació:
$$2(3 – y) – 3y = -1 \implies 6 – 2y – 3y = -1 \implies -5y = -7 \implies y = \frac{7}{5}$$
Substituïm $y = \frac{7}{5}$ en $x = 3 – y$:
$$x = 3 – \frac{7}{5} = \frac{15}{5} – \frac{7}{5} = \frac{8}{5}$$
Solució: $x = \frac{8}{5}, y = \frac{7}{5}$.
$$\begin{cases}
6x – 4y = 8 \\
x + 5y = 7
\end{cases}$$
Multipliquem la segona equació per 6 per poder sumar:
$$6x – 4y = 8 \quad \text{i} \quad 6x + 30y = 42$$
Restem les equacions:
$$-34y = -34 \implies y = 1$$
Substituïm $y = 1$ en $x + 5y = 7$:
$$x + 5(1) = 7 \implies x = 2$$
Solució: $x = 2, y = 1$.
$$\begin{cases}
7x + 3y = 18 \\
2x – 6y = -12
\end{cases}$$
Multipliquem la primera equació per $2$ i la segona per $7$:
$$14x + 6y = 36 \quad \text{i} \quad 14x – 42y = -84$$
Restem les equacions:
$$48y = 120 \implies y = \frac{5}{2}$$
Substituïm $y = \frac{5}{2}$ en $7x + 3y = 18$:
$$7x + 3\left(\frac{5}{2}\right) = 18 \implies 7x + \frac{15}{2} = 18 \implies 7x = \frac{21}{2} \implies x = \frac{3}{2}$$
Solució: $x = \frac{3}{2}, y = \frac{5}{2}$.
$$\begin{cases}
4x + y = 11 \\
x – 3y = -5
\end{cases}$$
Despeguem $y = 11 – 4x$ i el substituïm a la segona equació:
$$x – 3(11 – 4x) = -5 \implies x – 33 + 12x = -5 \implies 13x = 28 \implies x = \frac{28}{13}$$
Substituïm $x = \frac{28}{13}$ en $y = 11-4x$