Problema plantejament d’equacions

El propietari d’una llibreria posarà a la venda llibres de tres gèneres diferents: idiomes, infantil i informàtica.
L’amo s’ha fixat com a objectiu vendre $150$ exemplars i vol obtenir uns ingressos per venda de $2300$ €. El preu dels llibres d’idiomes dels ha fixat a $20$ €/llibre, els d’informàtica a $15$ €/llibre i als d’infantil els va a fer un descompte del $30$% sobre $10$ € que costaven l’any anterior. A més sap per vendes d’altres anys, que el nombre de llibres de temàtica infantil serà la meitat dels llibres de temàtica d’idiomes. Tenint en compte les condicions descrites, quants exemplars hauria de vendre de cada gènere per obtenir el seu objectiu?

Assignarem les variables:

$x$: llibres d’idiomes

$y$: llibres d’infantil

$z$: llibres d’informàtica

Preus:

• llibres d’idiomes: 20 €
• llibres d’infantil: 7 € (10 · 0.70)
• llibres d’informàtica: 15 €

Les equacions que formarien el sistema serien les següents:

• $x+y+z=150$
• $20x+7y+15z=2300$
• $y=\frac{1}{2} \cdot x$

Ordenant les equacions ens quedaria el sistema tal com:

$$\left.
\begin{array}{ccccc}
x &+ y&+ z & = & 150 \\
20x& + 7y & +15z&= & 2300 \\
-x&+2y& & = & 0
\end{array}
\right\}$$

Resolem el sistema pel mètode de Gauss, tot escribint el sistema anterior en la següent matriu:

$$\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 150
\\ 20 & 7 & 15 & 2300
\\ -1 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)\xrightarrow{\begin{array}{} 20 \cdot F_1 – F_2 \rightarrow F_2^* \\ F_1 + F_3 \rightarrow F_3^*\end{array}}\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 150
\\ 0 & 13 & 5 & 700
\\ 0 & 3 & 1 & 150
\end{array}
\right)\xrightarrow{3 \cdot F_2 – 13 \cdot F_3 \rightarrow F_3^*}\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 150
\\ 0 & 13 & 5 & 700
\\ 0 & 0 & 2 & 150
\end{array}
\right)$$

Reescrivint la matriu en equacions ens queda:

$$\left.
\begin{array}{ccccc}
x &+ y&+ z & = & 150 \\
& + 13y & +5z&= & 700 \\
&& 2z& = & 150
\end{array}
\right\}$$

Obtenint:
$$x= 50$$
$$y= 25$$
$$z= 75$$

Per tant el llibrer haurà de vendre $50$ llibres d’idiomes, $25$ llibres d’infantil i $75$ llibres d’informàtica.