Exercici 6 examen matemàtiques CCSS juny 2006

La despesa mensual en salaris d’una empresa de 36 treballadors és de $54.900$ €. Hi ha tres categories de treballadors que indicarem per A, B i C. El salari mensual d’un treballador de la categoria A és de $900$ €, el d’un de la B és de $1.500$ € i el d’un de la C és de $3.000$ €. Sense acomiadar ningú, l’empresa vol reduir la despesa salarial en un $5\%$. Per fer-ho, ha rebaixat un $5\%$ el salari dels de la categoria A, un $4\%$ els de la B i un $7\%$ els de la C. Esbrineu quants treballadors hi ha de cada categoria.

Primer, introduirem algunes variables i utilitzarem les dades que tenim.

Variables:

Sigui:

• $x$: nombre de treballadors de la categoria A.
• $y$: nombre de treballadors de la categoria B.
• $z$: nombre de treballadors de la categoria C.

Equacions:

1. Equació del total de treballadors: Sabem que hi ha un total de 36 treballadors. Així que:
   $$x + y + z = 36$$
2. Equació del cost total salarial abans de la reducció: La despesa salarial mensual total abans de la reducció és de $54900$ €. Amb els salaris originals:

• Els treballadors de la categoria A cobren $900$ € cada un, per tant, la despesa per aquests és $900x$.
• Els treballadors de la categoria B cobren $1500$ € cada un, per tant, la despesa per aquests és $1500y$.
• Els treballadors de la categoria C cobren $3000$ € cada un, per tant, la despesa per aquests és $3000z$. Això ens dona la segona equació:
  $$900x + 1500y + 3000z = 54900$$\

1. Equació del cost total després de la reducció salarial: Es vol reduir la despesa salarial en un $5\%$, per tant, el nou cost total és un $95%$ de l’original:
   $$54900 \times 0,95 = 52155$$ Amb les reduccions de salaris:

• Els treballadors de la categoria A han rebut un descompte del 5%, per tant, el nou salari és $900 \times 0,95 = 855$ €. La despesa per aquests treballadors és $855x$.
• Els treballadors de la categoria B han rebut un descompte del 4%, per tant, el nou salari és $1500 \times 0,96 = 1440$ €. La despesa per aquests treballadors és $1440y$.
• Els treballadors de la categoria C han rebut un descompte del 7%, per tant, el nou salari és $3000 \times 0,93 = 2790$ €. La despesa per aquests treballadors és $2790z$. Així doncs, la tercera equació serà:
  $$855x + 1440y + 2790z = 52155$$

Sistema d’equacions:

Tenim el següent sistema d’equacions:
$$\begin{cases}
x + y + z = 36 \\
900x + 1500y + 3000z = 54900 \\
855x + 1440y + 2790z = 52155 \\
\end{cases}$$

Per resoldre aquest sistema pel mètode de Gauss, convertirem el sistema en una matriu ampliada i aplicarem operacions fila per transformar-la en forma esglaonada. Aquestes són les tres equacions del sistema:

$$\begin{cases}
x + y + z = 36 \\
900x + 1500y + 3000z = 54900 \\
855x + 1440y + 2790z = 52155 \\
\end{cases}$$

Pas 1: Matriu ampliada

Primer, construïm la matriu ampliada del sistema:

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 36 \\
900 & 1500 & 3000 & | & 54900 \\
855 & 1440 & 2790 & | & 52155 \\
\end{pmatrix}$$

Pas 2: Aplicar operacions fila

Aplicarem operacions per reduir la matriu a forma esglaonada. Començaré amb els càlculs per obtenir la forma esglaonada de Gauss.

Després d’aplicar el mètode de Gauss, la matriu reduïda a forma esglaonada és:

$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 11 \\
0 & 1 & 0 & | & 20 \\
0 & 0 & 1 & | & 5 \\
\end{pmatrix}$$

Això ens dóna directament les solucions:

• $x = 11$: Hi ha $11$ treballadors de la categoria A.
• $y = 20$: Hi ha $20$ treballadors de la categoria B.
• $z = 5$: Hi ha $5$ treballadors de la categoria C.