LEMNISCATA
Matemàtiques
Un satèl·lit de $500$ kg se situa a una alçada de $1200$ km sobre la superfície de la Terra. Determinar: a) Quant ha augmentat l’energia potencial gravitatòria del satèl·lit des de la superfície de la Terra? Quina seria l’energia mecànica en aquesta òrbita?
Per resoldre aquest problema de manera detallada, hem de calcular l’energia potencial gravitatòria del satèl·lit quan està a la superfície de la Terra i quan es troba a una alçada de $1200$ km, així com l’energia mecànica en aquesta òrbita.
Dades:
– Massa del satèl·lit (\( m \)) = 500 kg- Alçada sobre la superfície de la Terra (\( h \)) = 1200 km = \( 1.2 \times 10^6 \) m
– Radi de la Terra (\( R_T \)) = \( 6.37 \times 10^6 \) m- Constant gravitacional (\( G \)) = \( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 \)
– Massa de la Terra (\( M_T \)) = \( 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
a) Augment de l’energia potencial gravitatòria. L’energia potencial gravitatòria es calcula amb la fórmula:\[U = – \frac{G M_T m}{r}\]On \( r \) és la distància des del centre de la Terra fins al satèl·lit.
Energia potencial a la superfície de la Terra:Quan el satèl·lit és a la superfície, la distància \( r_1 \) és simplement el radi de la Terra (\( R_T \)):\[r_1 = R_T = 6.37 \times 10^6 \, \text{m}\]Substituïm els valors a la fórmula:\[U_1 = – \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24}) \times 500}{6.37 \times 10^6}\]Càlcul de l’energia potencial a la superfície:\[U_1 = -3.124 \times 10^9 \, \text{J}\]
Energia potencial a una alçada de $1200$ km sobre la superfície:Quan el satèl·lit es troba a $1200$ km d’alçada, la distància total des del centre de la Terra és:\[r_2 = R_T + h = 6.37 \times 10^6 \, \text{m} + 1.2 \times 10^6 \, \text{m} = 7.57 \times 10^6 \, \text{m}\]Substituïm els valors a la fórmula:\[U_2 = – \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24}) \times 500}{7.57 \times 10^6}\]Càlcul de l’energia potencial a 1200 km d’alçada:\[U_2 = -2.63 \times 10^9 \, \text{J}\]
Aument de l’energia potencial gravitatòria: L’augment d’energia potencial és la diferència entre les dues energies potencials:\[\Delta U = U_2 – U_1 = (-2.63 \times 10^9) – (-3.124 \times 10^9) = 4.96 \times 10^8 \, \text{J}\]L’augment de l’energia potencial gravitatòria és aproximadament 4.96 $\times 10^8$ J.
b) Energia mecànica en òrbita. L’energia mecànica total \( E_m \) en òrbita es defineix com la suma de l’energia potencial i l’energia cinètica. Per satèl·lits en òrbita circular, l’energia mecànica és:\[E_m = \frac{U}{2}\]Substituïm \( U_2 \), l’energia potencial a 1200 km d’alçada:\[E_m = \frac{-2.63 \times 10^9}{2} = -1.32 \times 10^9 \, \text{J}\]L’energia mecànica total en aquesta òrbita és aproximadament $-1.32 \times 10^9$ J.
Resum:
– L’augment de l’energia potencial gravitatòria és de \( 4.96 \times 10^8 \, \text{J} \).
– L’energia mecànica en l’òrbita de 1200 km és de \( -1.32 \times 10^9 \, \text{J} \).