Sistema d’equacions. Resolució pel mètode de Cramer

Resoleu el següent sistema d’equacions
$$\left\{
\begin{array}{l}
x + 3y – 2z = 4 \\
3x + 2y = 3 \\
3x + 2y + z = 5
\end{array}
\right.$$

Per resoldre el sistema d’equacions pel mètode de Cramer, seguiré pas a pas tot el procés. Comencem amb el sistema d’equacions donat:

$$\left\{
\begin{array}{l}
x + 3y – 2z = 4 \\
3x + 2y + 0z = 3 \\
3x + 2y + z = 5
\end{array}
\right.$$

Pas 1: Escriure la matriu dels coeficients $A$ i el vector de termes independents $\vec{b}$

El sistema es pot expressar en forma matricial: $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$, on $A$ és la matriu dels coeficients, $\vec{x}$ és el vector de les incògnites $[x, y, z]$, i $\vec{b}$ és el vector dels termes independents.

La matriu dels coeficients $A$ és:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & -2 \\
3 & 2 & 0 \\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}$$

El vector de termes independents $\vec{b}$ és:

$$\vec{b} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
5
\end{pmatrix}$$

Pas 2: Calcula el determinant de la matriu $A$

El primer pas en el mètode de Cramer és calcular el determinant de la matriu $A$, que denotem com $\det(A)$. Això es fa utilitzant la fórmula per al determinant d’una matriu $3 \times 3$:

$$\det(A) = 1 \cdot \left( 2 \cdot 1 – 0 \cdot 2 \right) – 3 \cdot \left( 3 \cdot 1 – 0 \cdot 3 \right) + (-2) \cdot \left( 3 \cdot 2 – 2 \cdot 3 \right)$$

Això ens dona:

$$\det(A) = 1(2 – 0) – 3(3 – 0) – 2(6 – 6) = 2 – 9 + 0 = -7$$

Pas 3: Substituir les columnes per $\vec{b}$ i calcular els determinants

Ara definim tres matrius, $A_x$, $A_y$, i $A_z$, substituint la columna corresponent per (\vec{b}):

• $A_x$: Substituïm la primera columna de $A$ pel vector $\vec{b}$:

$$A_x = \begin{pmatrix}
4 & 3 & -2 \\
3 & 2 & 0 \\
5 & 2 & 1
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_x$ és:

$$\det(A_x) = 4(2 \cdot 1 – 0 \cdot 2) – 3(3 \cdot 1 – 0 \cdot 5) + (-2)(3 \cdot 2 – 2 \cdot 5)$$
$$\det(A_x) = 4(2 – 0) – 3(3 – 0) – 2(6 – 10) = 8 – 9 + 8 = 7$$

• $A_y$: Substituïm la segona columna de $A$ pel vector $\vec{b}$:

$$A_y = \begin{pmatrix}
1 & 4 & -2 \\
3 & 3 & 0 \\
3 & 5 & 1
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_y$ és:

$$\det(A_y) = 1(3 \cdot 1 – 0 \cdot 5) – 4(3 \cdot 1 – 0 \cdot 3) + (-2)(3 \cdot 3 – 3 \cdot 5)$$
$$\det(A_y) = 1(3 – 0) – 4(3 – 0) – 2(9 – 15) = 3 – 12 + 12 = -21$$

• $A_z$: Substituïm la tercera columna de $A$ pel vector $\vec{b}$:

$$A_z = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 \\
3 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 5
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_z$ és:

$$\det(A_z) = 1(2 \cdot 5 – 3 \cdot 2) – 3(3 \cdot 5 – 3 \cdot 3) + 4(3 \cdot 2 – 3 \cdot 2)$$
$$\det(A_z) = 1(10 – 6) – 3(15 – 9) + 4(6 – 6) = 4 – 18 + 0 = -14$$

Pas 4: Aplicar les fórmules de Cramer

Finalment, utilitzem les fórmules de Cramer per trobar les solucions $x$, $y$ i $z$:

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{7}{-7} = -1$$
$$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-21}{-7} = 3$$
$$z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{-14}{-7} = 2$$

Solució final

La solució del sistema d’equacions és:

$$x = -1, \quad y = 3, \quad z = 2$$