Discussió sistemes d’equacions

Resoleu, en funció del paràmetre $\alpha$, el sistema d’equacions lineals següent pel mètode de Cramer: $$ \begin{cases}\alpha x + y + z = \alpha, \\ x + \alpha y – z = 1, \\ 3x + y + \alpha z = 2\end{cases}$$

En primer lloc, calculem per a quins valors de $\alpha$ el sistema és de Cramer, és a dir, per a quins valors de $\alpha$ el determinant de la matriu dels coeficients de les incògnites és no nul:

$$\begin{vmatrix}
\alpha & 1 & 1 \\
1 & \alpha & -1 \\
3 & 1 & \alpha
\end{vmatrix}$$

El determinant es calcula com segueix:

$$\Delta = \alpha^3 – 3 + 1 – 3\alpha + \alpha – \alpha = \alpha^3 – 3\alpha – 2.$$

Per trobar els valors de ( \alpha ) per als quals el determinant és no nul, resolguem:

$$\alpha^3 – 3\alpha – 2 = 0.$$

Podem calcular les solucions mitjançant la regla de Ruffini:

$$\begin{array}{r|rrrr}
-1 & 1 & 0 & -3 & -2 \\
& & -1 & 1 & 2 \\
\hline
& 1 & -1 & -2 & 0 \\
\end{array}$$

Així, obtenim:

$$\alpha^2 – \alpha – 2 = 0.$$

Utilitzant la fórmula de l’equació de segon grau:

$$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.$$

Això dóna les solucions:

$$\alpha = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad \alpha = \frac{1 – 3}{2} = -1.$$

Per tant, el determinant es pot expressar com:

$$\Delta = (\alpha + 1)^2 (\alpha – 2).$$

Finalment, cal distingir els casos:

$$\alpha = -1, \quad \alpha = 2, \quad \alpha \neq -1 \text{ i } 2.$$

(i) Primer cas: $\alpha = -1$.
En aquest cas, el sistema d’equacions és:

$$\begin{cases}
-x + y + z = -1, \\
x – y – z = 1, \\
3x + y – z = 2.
\end{cases}$$

Evidentment, la primera i la segona equació són la mateixa. Per tant, podem eliminar-ne una de les dues i el sistema queda:

$$\begin{cases}
x – y = z + 1, \\
3x + y = z + 2.
\end{cases}$$

Aquest sistema és compatible indeterminat i la seva solució general és:

$$x = \frac{\begin{vmatrix}z + 1 & -1 \\ z + 2 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{2z + 3}{4},$$

i

$$y = \frac{\begin{vmatrix}1 & z + 1 \\ 3 & z + 2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{-2z – 1}{4}.$$

(ii) Segon cas: $\alpha = 2$.
Ara el sistema d’equacions és:

$$\begin{cases}
2x + y + z = 2, \\
x + 2y – z = 1, \\
3x + y + 2z = 2.
\end{cases}$$

La matriu dels coeficients de les incògnites és:

$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}$$

i té un menor d’ordre 2 no nul:

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \neq 0.$$

Per calcular el rang de la matriu ampliada:

$$\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & -1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 2
\end{array} \right)$$

És suficient calcular el determinant que s’obté quan afegim la tercera fila i la quarta columna:

$$\begin{vmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{vmatrix} = -3 \neq 0.$$

Aleshores, el rang de la matriu ampliada és $3$ i el sistema és incompatible.

(iii) Tercer cas: $\alpha \neq -1$ i $2$.
Ara el determinant és diferent de zero, el sistema és de Cramer i aplicant la regla de Cramer tenim:

$$x = \frac{
\begin{vmatrix}
\alpha & 1 & 1 \\
1 & \alpha & -1 \\
2 & 1 & \alpha
\end{vmatrix}}{(\alpha + 1)^2(\alpha – 2)} = \frac{\alpha^3 – 2\alpha – 1}{(\alpha + 1)^2(\alpha – 2)} = \frac{(\alpha + 1)(\alpha^2 – \alpha – 1)}{(\alpha + 1)^2(\alpha – 2)} = \frac{\alpha^2 – \alpha – 1}{(\alpha + 1)(\alpha – 2)},$$

$$y = \frac{
\begin{vmatrix}
\alpha & \alpha & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
3 & 2 & \alpha
\end{vmatrix}
}{(\alpha + 1)^2(\alpha – 2)} = \frac{-\alpha – 1}{(\alpha + 1)^2(\alpha – 2)} = \frac{-1}{(\alpha + 1)(\alpha – 2)},$$

$$z = \frac{
\begin{vmatrix}
\alpha & 1 & \alpha \\
1 & \alpha & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{vmatrix}
}{(\alpha + 1)^2(\alpha – 2)} = \frac{-\alpha^2 + 1}{(\alpha + 1)^2(\alpha – 2)} = \frac{(\alpha + 1)(1 – \alpha)}{(\alpha + 1)^2(\alpha – 2)} = \frac{1 – \alpha}{(\alpha + 1)(\alpha – 2)}.$$