Discussió sistemes d’equacions

Trobeu els valors de $\lambda$ per als quals el sistema d’equacions: $$\begin{cases} -3x + 2y – 2z = \lambda x, \\ -2x + y – 2z = \lambda y, \\ 2x – 2y + z = \lambda z, \end{cases}$$ és compatible indeterminat.

En primer lloc, el sistema de l’enunciat es pot escriure en la forma

$$\begin{cases} (-3 – \lambda)x + 2y – 2z = 0, \\ -2x + (1 – \lambda)y – 2z = 0, \\ 2x – 2y + (1 – \lambda)z = 0, \end{cases}$$

I com que aquest sistema és homogeni, serà compatible indeterminat quan el rang de la matriu de coeficients sigui 2 o, el que és el mateix, quan s’anul·li el determinant d’aquesta matriu:

$$\begin{vmatrix} -3 – \lambda & 2 & -2 \\ -2 & 1 – \lambda & -2 \\ 2 & -2 & 1 – \lambda\end{vmatrix} = 0.$$

Aleshores, aplicant la regla de Sarrus, aquest determinant queda

$$(-3 – \lambda)(1 – \lambda)(1 – \lambda) – 8 – 8 + 4(1 – \lambda) – 4(-3 – \lambda) + 4(1 – \lambda) = 0,$$

que, desenvolupant, es converteix en

$$-\lambda^3 – \lambda^2 + \lambda + 1 = 0.$$

Aleshores, calculem les solucions mitjançant la regla de Ruffini

$$\begin{array}{r|rrrr}
-1 & -1 & 1 & 1 \\
& 1 & -1 & -2 \\
\hline
& -1 & -2 & -1 & 0
\end{array}$$

i la fórmula de l’equació de segon grau

$$\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 4}}{-2} = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{-2} = \frac{2 \pm 0}{-2} = {-1}.$$

Per tant, en definitiva, obtenim que els valors de $\lambda$ per als quals el sistema és compatible indeterminat són

$$\lambda = 1 \quad \text{i} \quad \lambda = -1.$$