Corba peraltada

Una corba de radi $30$ m té un angle de peraltament $\theta$ com indica la figura. Determinar el valor de $\theta$ per al qual un cotxe pot prendre la corba a $40$ km/h encara que la carretera no posseeixi fregament.

En aquest exemple, la força normal de la carretera que actua sobre el cotxe té un component dirigit cap al centre del cercle que proporciona la força centrípeta. A la figura podem veure que l’angle format per la força normal \( N \) i la vertical és igual a l’angle de peraltament $\theta$. El component vertical de la força normal \( F_y = N \cos \theta \) ha d’equilibrar el pes del cotxe:\[F_y = N \cos \theta = mg\]El component horitzontal de la força normal \( F_x = N \sin \theta \) proporciona la força centrípeta:\[F_x = N \sin \theta = \frac{mv^2}{r}\]Dividint entre si aquestes dues equacions podem eliminar \( m \) i \( N \) i obtenir una equació que relaciona $\theta$ amb la velocitat \( v \) i el radi \( r \):\[\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \tan \theta = \frac{v^2}{rg}\]Substituint en aquesta equació els valors \( v = 40 \, \text{km/h} = 11,1 \, \text{m/s} \), \( r = 30 \, \text{m} \), i \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \), resulta:\[\tan \theta = \frac{(11,1 \, \text{m/s})^2}{(30 \, \text{m})(9,81 \, \text{m/s}^2)} = 0,419\]\[\theta = 22,7^\circ\]