Problema equilibri estàtic

Un anunci de massa 20 kg penja de l’extrem d’una barra de longitud 2 m i massa 4 kg (figura 9-6a). Un cable subjecta l’extrem de la barra a un punt de la paret que està 1 m per sobre del punt O. Determinar la tensió del cable i la força exercida per la paret en el punt O.

La figura b mostra les forces que actuen sobre la barra. Com \( g = 9,81 \, \text{N/kg} \), el pes de l’anunci és 196 N i el de la barra 39,2 N. La força exercida per la paret té els components \( F_x \) i \( F_y \). La tensió \( T \) s’ha descompost en els components \( x \) i \( y \). Com no coneixem la força exercida per la paret, elegim el punt O per calcular els moments. El pes de l’anunci i el de la barra produeixen moments horaris respecte a O i el component \( y \) de la tensió del cable produeix un moment antihorari respecte a O. Igualant aquests moments tenim\[T_y (2 \, \text{m}) = (196 \, \text{N})(2 \, \text{m}) + (39,2 \, \text{N})(1 \, \text{m}) = 431 \, \text{N·m}\]\[T_y = 215,5 \, \text{N}\] El component \( x \) de la tensió pot relacionar-se amb \( T_y \) i l’angle \( \phi \). De la figura b resulta\[\frac{T_y}{-T_x} = \tan \phi\]i de la figura a \[\tan \phi = \frac{1 \, \text{m}}{2 \, \text{m}} = \frac{1}{2}\]Per tant,\[T_x = -2 T_y = -2 (215,5 \, \text{N}) = -431 \, \text{N}\](\( T_x \) és negativa perquè apunta cap a l’esquerra.) La magnitud de la tensió és\[T = \sqrt{T_x^2 + T_y^2} = \sqrt{(-431 \, \text{N})^2 + (215,5 \, \text{N})^2} = 482 \, \text{N}\]La força exercida per la paret sobre la barra en O resulta de la primera condició de l’equilibri. És a dir, el component horitzontal \( F_x \) ha de ser igual a 431 N per equilibrar el component horitzontal de la tensió. Igualant les forces dirigides cap amunt amb les dirigides cap avall tenim\[F_y + T_y = 196 \, \text{N} + 39,2 \, \text{N} = 235 \, \text{N}\]\[F_y = 235 \, \text{N} – T_y = 235 \, \text{N} – 215,5 \, \text{N} = 19,5 \, \text{N}\]