Càlcul de probabilitats sobre microprocessadors defectuosos

Treballeu amb $4$ xifres decimals per a les probabilitats i amb $2$ per als percentatges. Una fàbrica de components d’ordinador produeix $2500$ microprocessadors al dia. Sabent que el percentatge de microprocessadors defectuosos fabricats és del $2\%$, responeu raonadament a les següents qüestions: a) Quina distribució segueix la variable aleatòria que compta el nombre de microprocessadors defectuosos fabricats al dia? b) Calculeu la mitjana i la desviació típica d’aquesta distribució. c) Quina és la probabilitat que en un dia el nombre de microprocessadors defectuosos fabricats sigui menor o igual que $57$? d) Quina és la probabilitat que en un dia el nombre de microprocessadors defectuosos fabricats sigui exactament $50$?

Treballem amb 4 xifres decimals per a les probabilitats i amb 2 per als percentatges.

Una fàbrica de components d’ordinador produeix $2500$ microprocessadors al dia. Sabem que el percentatge de microprocessadors defectuosos fabricats és del $2\%$. Resolem les següents qüestions:

a) Distribució de la variable aleatòria

Definim la variable aleatòria $X$ com el nombre de microprocessadors defectuosos en un dia. Com que es tracta d’un gran nombre de proves independents amb dos resultats possibles (defectuós o no defectuós), la variable $X$ segueix una distribució binomial:

\begin{equation}
X \sim B(n, p)
\end{equation}

on $n = 2500$ és el nombre total de microprocessadors produïts i $p = 0.02$ és la probabilitat que un microprocessador sigui defectuós.

b) Mitjana i desviació típica

La mitjana d’una distribució binomial es calcula com:

\begin{equation}
\mu = n p
\end{equation}

Substituint els valors:

\begin{equation}
\mu = 2500 \times 0.02 = 50.
\end{equation}

La desviació típica es calcula com:

\begin{equation}
\sigma = \sqrt{n p (1 – p)}
\end{equation}

Substituint els valors:

\begin{equation}
\sigma = \sqrt{2500 \times 0.02 \times (1 – 0.02)} = \sqrt{2500 \times 0.02 \times 0.98} = \sqrt{49} = 7.
\end{equation}

c) Probabilitat que $X \leq 57$

Per calcular aquesta probabilitat, utilitzem l’aproximació normal a la distribució binomial, ja que (n) és gran. La distribució normal aproximada és:

\begin{equation}
X \sim N(50, 7^2).
\end{equation}

Ajustant per continuïtat:

\begin{equation}
P(X \leq 57) \approx P\left(Z \leq \frac{57.5 – 50}{7} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
P\left(Z \leq \frac{7.5}{7} \right) = P(Z \leq 1.07).
\end{equation}

Usant la taula de la normal, trobem:

\begin{equation}
P(Z \leq 1.07) \approx 0.8577.
\end{equation}

d) Probabilitat que $X = 50$

Amb l’aproximació normal:

\begin{equation}
P(X = 50) \approx P(49.5 \leq X \leq 50.5).
\end{equation}

Convertint a la normal estàndard:

\begin{equation}
P\left( \frac{49.5 – 50}{7} \leq Z \leq \frac{50.5 – 50}{7} \right) = P(-0.07 \leq Z \leq 0.07).
\end{equation}

Consultant la taula de la normal:

\begin{equation}
P(Z \leq 0.07) \approx 0.5279, \quad P(Z \leq -0.07) \approx 0.4721.
\end{equation}

\begin{equation}
P(49.5 \leq X \leq 50.5) = 0.5279 – 0.4721 = 0.0558.
\end{equation}

Així, la probabilitat de fabricar exactament 50 microprocessadors defectuosos és aproximadament 0.0558.