Programació lineal. Fàbrica de paper

Una fàbrica de paper vol liquidar fins a 88 kg de paper reciclat i fins a 148 kg de paper normal. Per a això fa dos tipus de lots, A i B. Els lots de tipus A estan formats per 1 kg de paper reciclat i 3 kg de paper normal, i els lots de tipus B, per 2 kg de paper de cada classe. El preu de venda de cada lot de tipus A és d’1.1 € el de cada lot de tipus B és d’1.5 €. Quants lots de tipus A i B ha de vendre per maximitzar els seus ingressos? A quant ascendeixen aquests ingressos màxims? S’ha de plantejar el problema com un problema de programaci´o lineal, dibuixant la regió factible de solucions i determinant i dibuixant els seus vèrtexs.

Definim les variables de decisió:

• $x$: Nombre de lots de tipus A venuts.
• $y$: Nombre de lots de tipus B venuts.

La funció objectiu que volem maximitzar és:
\begin{equation}
Z = 1.1x + 1.5y
\end{equation}

subjecte a les següents restriccions:

\begin{cases}
x + 2y \leq 88 \quad \text{(paper reciclat)} \\ 3x + 2y \leq 148 \quad \text{(paper normal)} \\ x \geq 0, \quad y \geq 0 \quad \text{(no-negativitat)}
\end{cases}

Resolució gràfica

Per trobar els punts d’intersecció de les restriccions, resolvem el sistema:

\begin{cases} x + 2y &= 88 \\ 3x + 2y &= 148 \end{cases}

Restant les equacions:
\begin{equation}
(3x + 2y) – (x + 2y) = 148 – 88
\end{equation}

\begin{equation}
2x = 60 \Rightarrow x = 30
\end{equation}

Substituint a la primera equació:
\begin{equation}
30 + 2y = 88 \Rightarrow 2y = 58 \Rightarrow y = 29
\end{equation}

Els vèrtexs de la regió factible són:

• $(0, 44)$
• $(30, 29)$
• $(49.33, 0)$

Avaluant la funció objectiu en aquests punts:

\begin{cases} Z(0,44) &= 1.1(0) + 1.5(44) = 66 \\ Z(30,29) &= 1.1(30) + 1.5(29) = 76.5 \\ Z(49.33,0) &= 1.1(49.33) + 1.5(0) = 54.26 \end{cases}

Conclusió

Per maximitzar els ingressos, la fàbrica ha de vendre $\textbf{30 lots de tipus A}$ i $\textbf{29 lots de tipus B}$. Els ingressos màxims són $\textbf{76.5€}$.