Binomi de Newton i el triangle de Pascal

El binomi de Newton i el triangle de Pascal (també conegut com a triangle de Tartaglia) són conceptes matemàtics molt relacionats que tenen una aplicació en l’expansió de potències d’un binomi i en el càlcul de coeficients binomials.

Binomi de Newton

El binomi de Newton permet expandir expressions de la forma: $(a + b)^n$

on $a$ i $b$ són termes qualsevols i nn és un nombre enter no negatiu.

L’expansió es fa mitjançant els coeficients binomials i la fórmula general és: $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

On (nk)\binom{n}{k} és el coeficient binomial, també conegut com a coeficient de Newton, i es defineix com: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Aquesta fórmula s’utilitza per expandir qualsevol potència d’un binomi $(a + b)^n$, on els termes $a^{n-k} b^k$ representen totes les combinacions possibles de potències de $a$ i $b$, i els coeficients $\binom{n}{k}$ són els coeficients que multipliquen cada terme.

Triangle de Pascal (o Tartaglia)

El triangle de Pascal (o triangle de Tartaglia en alguns països) és una representació gràfica dels coeficients binomials. Es construeix de manera recursiva, començant amb un 1 a la part superior, i cada número a l’interior del triangle és la suma dels dos números immediatament a sobre d’ell.

Aquí tens una part del triangle de Pascal: $$\begin{array}{cccccc} & & & 1 & & \\ & & 1 & & 1 & \\ & 1 & & 2 & & 1 \\ 1 & & 3 & & 3 & & 1 \\ 1 & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \end{array}$$

Les files representen les potències de $(a + b)^n$, i cada número al triangle és un coeficient binomial $\binom{n}{k}$. Per exemple:

• La segona fila ($n = 1$) correspon a l’expansió de $(a + b)^1 = a + b$, amb coeficients $1\binom{1}{0} = 1$ i $1\binom{1}{1} = 1$.
• La tercera fila ($n = 2$) correspon a l’expansió de $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, amb coeficients $\binom{2}{0} = 1$, $2\binom{2}{1} = 2$, i $\binom{2}{2} = 1$.

Els coeficients binomials en cada fila són utilitzats directament en la fórmula del binomi de Newton per expandir les potències d’un binomi.

Relació entre el Binomi de Newton i el Triangle de Pascal

El triangle de Pascal és una manera visual de veure els coeficients binomials que apareixen en l’expansió del binomi de Newton. Cada fila del triangle correspon als coeficients de l’expansió d’un binomi $(a + b)^n$. Per exemple:

• L’expansió de $(a + b)^3$ es basa en la quarta fila del triangle de Pascal: $1, 3, 3, 1$ i seria: $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Exemple d’Expansió mitjançant el Binomi de Newton

Expansió de $(a + b)^4$:

Segons la fórmula del binomi de Newton, per $n = 4$: $(a + b)^4 = \binom{4}{0} a^4 b^0 + \binom{4}{1} a^3 b^1 + \binom{4}{2} a^2 b^2 + \binom{4}{3} a^1 b^3 + \binom{4}{4} a^0 b^4$

Els coeficients binomials $\binom{4}{k}$ corresponen a la cinquena fila del triangle de Pascal, que és: $1, 4, 6, 4, 1$

Per tant, l’expansió és: $$(a + b)^4 = 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4$$

Resum

• El binomi de Newton permet expandir potències de binomis utilitzant coeficients binomials.
• El triangle de Pascal és una manera visual de veure aquests coeficients binomials, on cada fila correspon a les potències d’un binomi.
• Els coeficients de cada fila del triangle de Pascal es corresponen amb els coeficients de l’expansió del binomi de Newton.

Amb aquesta informació, pots veure com el triangle de Pascal et permet trobar fàcilment els coeficients per expandir qualsevol binomi elevat a una potència $n$.