Anàlisi de probabilitats sobre el consum de pa

El 60% dels habitants d’una població consumeix pa integral, el 40% consumeix pa blanc i el 20% consumeix tots dos tipus de pa. a) (0,5 p.) Són independents els successos “consumir pa integral” i “consumir pa blanc”? b) (0,5 p.) Sabent que un habitant consumeix pa integral, quina és la probabilitat que consumeixi pa blanc? c) (0,75 p.) Calcula el percentatge de la població que no consumeix cap dels dos tipus de pa. d) (0,75 p.) Sabent que un habitant no consumeix pa integral, quina és la probabilitat que consumeixi pa blanc?

Definim les probabilitats:

• $P(I) = 0.6$ (probabilitat de consumir pa integral).
• $P(B) = 0.4$ (probabilitat de consumir pa blanc).
• $P(I \cap B) = 0.2$ (probabilitat de consumir tots dos tipus de pa).

a) Independència dels successos $I$ i $B$

Dos successos són independents si es compleix:
\begin{equation}
P(I \cap B) = P(I) \cdot P(B).
\end{equation}

Calculant el producte:
\begin{equation}
P(I) \cdot P(B) = (0.6)(0.4) = 0.24.
\end{equation}

Com que ( P(I \cap B) = 0.2 \neq 0.24 ), els successos no són independents.

b) Probabilitat de consumir pa blanc sabent que es consumeix pa integral

Utilitzem la probabilitat condicional:
\begin{equation}
P(B \mid I) = \frac{P(I \cap B)}{P(I)}.
\end{equation}

Substituint els valors:
\begin{equation}
P(B \mid I) = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333.
\end{equation}

c) Percentatge de població que no consumeix cap tipus de pa

Apliquem la fórmula de la unió de probabilitats:
\begin{equation}
P(I \cup B) = P(I) + P(B) – P(I \cap B).
\end{equation}

Substituint:
\begin{equation}
P(I \cup B) = 0.6 + 0.4 – 0.2 = 0.8.
\end{equation}

El percentatge de la població que no consumeix cap dels dos tipus de pa és:
\begin{equation}
1 – P(I \cup B) = 1 – 0.8 = 0.2 \quad \text{(20\% de la població)}.
\end{equation}

d) Probabilitat de consumir pa blanc sabent que no es consumeix pa integral

Utilitzem la probabilitat condicional:
\begin{equation}
P(B \mid I^c) = \frac{P(B \cap I^c)}{P(I^c)}.
\end{equation}

Calculem $P(I^c)$ (probabilitat de no consumir pa integral):
\begin{equation}
P(I^c) = 1 – P(I) = 1 – 0.6 = 0.4.
\end{equation}

Calculem $P(B \cap I^c)$ (probabilitat de consumir pa blanc i no consumir pa integral):
\begin{equation}
P(B \cap I^c) = P(B) – P(I \cap B) = 0.4 – 0.2 = 0.2.
\end{equation}

Substituint a la fórmula:
\begin{equation}
P(B \mid I^c) = \frac{0.2}{0.4} = 0.5.
\end{equation}