Un espectòmetre de masses

Un espectròmetre de masses consta d’un selector de velocitats i d’un recinte semicircular. En el selector de velocitats hi ha un camp elèctric i un camp magnètic, perpendiculars entre si i en la direcció de la velocitat dels ions. En entrar al selector, els ions d’una velocitat determinada no es desvien i entren a la zona semicircular, on només hi ha el camp magnètic perpendicular a la velocitat, que els fa descriure una trajectòria circular. a) Si el camp elèctric del selector té un valor $E = 20,0 \, \text{N/C}$ i el valor de la inducció magnètica és $B = 2,50 \times 10^{-3} \, \text{T}$, calculeu el valor del mòdul de la velocitat dels ions que NO es desvien. Feu l’esquema corresponent dels vectors següents: velocitat, força elèctrica, camp magnètic i força magnètica. b) Calculeu la distància $d$ a què impactaran els ions de triti, que són isòtops de l’hidrogen i tenen una massa $m = 3u$. $\textbf{Dades:}$ $1u = 1,66 \times 10^{-27} \, \text{kg}$; $Q_{\text{protó}} = 1,60 \times 10^{-19} \, \text{C}$.

La primera part d’aquest apartat, la part amb trajectòria recta dels ions, és el selector de velocitats. Aquí, els camps elèctric i magnètic creuats fan que, per a una partícula dins d’una determinada velocitat, la força elèctrica i magnètica siguin iguals en mòdul i oposades en sentit, per tant, el resultant d’aquestes forces netes és nul.

La força elèctrica és:

$$F_e = qE$$

i la força magnètica:

$$F_m = qvB$$

Si imposem que siguin iguals, tenim que:

$$qE = qvB$$

Per tant:

$$v = \frac{E}{B} = \frac{20,0}{2,50 \times 10^{-3}} = 8000 \, \text{m/s} \tag{a}$$

Els ions de triti són isòtops de l’hidrogen amb un protó i dos neutrons al seu nucli, i que tenen, per tant, una càrrega igual a la del protó però amb una massa diferent:

$$m = 3u = 3 \times 1,66 \times 10^{-27} \, \text{kg} = 4,98 \times 10^{-27} \, \text{kg}$$

$$Q = 1,60 \times 10^{-19} \, \text{C}$$

Quan els ions entren dins del recinte de l’espectròmetre de masses només hi ha el camp magnètic, per tant, l’ió descriu una trajectòria circular. La força magnètica fa de força centrípeta:

$$F_m = F_c$$

$$qvB = m \frac{v^2}{r}$$

Per tant:

$$r = \frac{mv}{qB} = \frac{4,98 \times 10^{-27} \cdot 8000}{1,60 \times 10^{-19} \cdot 2,50 \times 10^{-3}} = 0,10 \, \text{m}$$

La distància $d$ serà:

$$d = 2r = 0,20 \, \text{m} = 20 \, \text{cm}$$