Problema sobre la lupa

Una lupa és un instrument òptic que permet ampliar la mida dels objectes i consisteix en una lent convergent que té una distància focal petita. Si una lupa té una distància focal de $3$ cm, a quina distància hem de situar un objecte de $0,5$ cm si volem obtenir-ne una imatge virtual i $4$ vegades més gran? En aquest cas, on està situada la imatge? Què passaria si col·loquéssim l’objecte a una distància de $5$ cm de la lupa?

L’objecte ha d’estar a 2,3 cm i la imatge estarà ubicada a 8 cm.
Cal tenir en compte que el mètode gràfic té un error important quan les distàncies són grans, ja que un petit error en un angle es transforma en errors considerables a llargues distàncies. La millor manera de resoldre el problema en aquests casos és fer-ho de manera analítica.
En aquest cas, tenim que:

\begin{equation}
\frac{1}{s} + \frac{1}{s’} = \frac{1}{f}
\end{equation}

No coneixem ni la distància de l’objecte ((s)), ni la distància de la imatge ((s’)). Per tant, per resoldre l’equació, hem d’aportar-ne una altra. Podem plantejar l’equació de l’augment lateral:

\begin{equation}
m = \frac{y’}{y} = -\frac{s’}{s}
\end{equation}

Sabem que l’augment lateral és (m = 4). Per tant, tenim que (s’ = -4s).
Reemplaçant en l’altra equació, tenim que:

\begin{equation}
\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{-4s} = \frac{1}{s} \left(1 – \frac{1}{4}\right) = \frac{0,75}{s}
\end{equation}

Així,

\begin{equation}
s = 0,75f = 2,25 \, \text{cm}
\end{equation}

i

\begin{equation}
s’ = -4s = -9 \, \text{cm}
\end{equation}

on el signe negatiu ens indica que la imatge es forma a l’espai de l’objecte.