Resolució d’un sistema d’equacions mitjançant la matriu inversa

Troba la solució del sistema lineal següent: \begin{cases} 2x+y-z=3 \\ x-y+z=1 \\ 3x+y=4 \end{cases}

Primer de tot expressarem la matriu i matriu ampliada del sistema:

$$A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1\\
1 & -1 & 1\\
3 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\quad
MA=\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & 3\\
1 & -1 & 1 & 1\\
3 & 1 & 0 & 4
\end{pmatrix}$$
Ens cal ara estudiar el rang de la matriu $A$ i la matriu $MA$ per veure si el sistema té solució o no. Com que ja tenim un element diferent de zero, el rang de la matriu $A$ com a mínim és $1$. Anem a buscar un menor d’ordre dos no nul:

$$\begin{vmatrix}
2 & 1\\
1 & -1
\end{vmatrix}
=-3 \ne 0$$
El rang per tant, com a mínim és $2$. Anem a calcular el determinant de la matriu:

$$A=\begin{vmatrix}
2 & 1 & -1\\
1 & -1 & 1\\
3 & 1 & 0
\end{vmatrix}
=-3\ne 0$$
Veiem que $rangA=3$ i necessàriament serà igual al rang de la matriu ampliada (perquè conté el menor de la matriu A a dins). Per tant, aquest sistema és compatible determinat. Anem ara a trobar la solució. En forma matricial:

$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1\\
1 & -1 & 1\\
3 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3\\
1\\
4
\end{pmatrix}$$
Per trobar la solució cal que fem: $X=A^{-1}\cdot B$. Anem a buscar primer la inversa de la matriu, $A^{-1}=\frac{ 1 }{ |A| } Adj(A)^{T}$:

$$Adj(A)=\begin{pmatrix}
-1 & 3 & 4\\
-1 & 3 & 1\\
2 & -3 & -3
\end{pmatrix}
\Rightarrow
Adj(A)^{T}=\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 2\\
3 & 3 & -3\\
4 & 1 & -3
\end{pmatrix}
\Rightarrow
A^{-1}=\frac{ -1 }{ 3 }\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 2\\
3 & 3 & -3\\
4 & 1 & -3
\end{pmatrix}$$
Per tant:

$$X=
\frac{ -1 }{ 3 }\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 2\\
3 & 3 & -3\\
4 & 1 & -3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
3\\
1\\
4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
-4/3\\
0\\
-1/3
\end{pmatrix}$$
La solució d’aquest sistema és:

$$x=\frac{ 4 }{ 3 }\qquad y=0 \qquad z=\frac{ -1 }{ 3 }$$