Programació lineal. Taller de confecció

En un taller de confecció es disposa de 80 metres quadrats de tela de cotó i de 120 metres quadrats de tela de llana. Es fan dos tipus de vestits, A i B. Per fer un vestit del tipus A es necessita 1 metre quadrat de cotó i 3 metres quadrats de llana; en canvi, per un vestit del tipus B calen 2 metres quadrats de cada tipus de tela. a) Quants vestits de cada tipus s’han de fer per obtenir un benefici total màxim si per cada vestit (sigui del tipus que sigui) es guanyen 30 euros? b) Quina seria la conclusió a la pregunta anterior si per cada vestit del tipus A es guanyen 30 euros i, en canvi, per cada un del tipus B només es guanyen 20 euros.

Definició de variables

Definim:

• $x$: Nombre de vestits del tipus A fabricats.
• $y$: Nombre de vestits del tipus B fabricats.

Restriccions

Les quantitats de tela utilitzades no poden superar la disponibilitat:

\begin{cases}
x + 2y \leq 80 \\ 3x + 2y \leq 120 \\
\end{cases}

Condicions de no negativitat:

\begin{equation}
x \geq 0, \quad y \geq 0
\end{equation}

Taula de dades

Recurs	Tipus A	Tipus B	Total disponible
Cotó per vestit	1 m²	2 m²	80 m²
Llana per vestit	3 m²	2 m²	120 m²

Funció objectiu

Apartat (a)

Si cada vestit genera 30 euros, la funció objectiu a maximitzar és:

\begin{equation}
Z = 30x + 30y
\end{equation}

Apartat (b)
Si cada vestit del tipus A genera 30 euros i el tipus B genera 20 euros, la nova funció objectiu és:

\begin{equation}
Z = 30x + 20y
\end{equation}

Resolució del sistema

Trobarem els punts de la regió factible resolent les interseccions de les restriccions:

Intersecció de les restriccions

Resolem el sistema:

\begin{cases}
x + 2y = 80 \\ 3x + 2y = 120
\end{cases}

Restant aquestes equacions:

\begin{equation}
(3x + 2y) – (x + 2y) = 120 – 80
\end{equation}

\begin{equation}
2x = 40 \Rightarrow x = 20
\end{equation}

Substituint en la primera equació:

\begin{equation}
20 + 2y = 80
\end{equation}

\begin{equation}
2y = 60 \Rightarrow y = 30
\end{equation}

El punt d’intersecció és (20,30).

Avaluació de la funció objectiu

Els punts rellevants són:

• (0,40)
• (20,30)
• (40,0)

Avaluem $Z$ en aquests punts:

\begin{equation}
Z(0,40) = 30(0) + 30(40) = 1200
\end{equation}

\begin{equation}
Z(20,30) = 30(20) + 30(30) = 1500
\end{equation}

\begin{equation}
Z(40,0) = 30(40) + 30(0) = 1200
\end{equation}

La solució òptima és (20,30) amb un benefici màxim de 1500 euros.

Apartat (b): Nou benefici

Avaluem la nova funció objectiu:

\begin{equation}
Z(0,40) = 30(0) + 20(40) = 800
\end{equation}

\begin{equation}
Z(20,30) = 30(20) + 20(30) = 1200
\end{equation}

\begin{equation}
Z(40,0) = 30(40) + 20(0) = 1200
\end{equation}

Ara hi ha dues solucions òptimes: (20,30) i (40,0), amb un benefici màxim de 1200 euros.