Càlcul subespai vectorial i base

Justifiqueu que el conjunt $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 3x + y – 3z = 0, \, y – 2z = 0\} \subset \mathbb{R}^3$

és un subespai vectorial de $\mathbb{R}^3$ i doneu-ne una base.

b) Comproveu que $B = \{(1,6,3), (-2,5,0), (0,3,1)\}$

és una base de $\mathbb{R}^3$ i determineu les matrius de canvi de base. Quines són les coordenades del vector $w = (1,0,1)$ en la base $B$?

c) Descriviu el subespai vectorial $F$ en la base $B$.

---

Apartat a) Justificar que $F$ és un subespai vectorial de $\mathbb{R}^3$ i trobar-ne una base

El subespai $F$ està definit pel sistema d’equacions:
\begin{equation} \begin{cases} 3x + y – 3z = 0, \\ y – 2z = 0. \end{cases} \end{equation}

Resolent el sistema:

De la segona equació:
\begin{equation} y = 2z. \end{equation}

Substituïm a la primera equació:
\begin{equation} 3x + 2z – 3z = 0 \Rightarrow 3x – z = 0 \Rightarrow x = \frac{z}{3}. \end{equation}

Expressant en termes de $z$:
\begin{equation} (x, y, z) = \left( \frac{z}{3}, 2z, z \right). \end{equation}

Triem $z = 3$ per obtenir una base amb nombres enters:
\begin{equation} (1,6,3). \end{equation}

Així, una base per $F$ és:
\begin{equation} {(1,6,3)}. \end{equation}

---

Apartat b) Comprovar que $B = \{(1,6,3), (-2,5,0), (0,3,1)\}$ és una base de $\mathbb{R}^3$, trobar les matrius de canvi de base i les coordenades de $w = (1,0,1)$ en $B$.

La matriu associada a la base $B$ és:
\begin{equation} M = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 6 & 5 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{equation}

Calculem el determinant:
\begin{equation} \det(M) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 6 & 5 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}. \end{equation}

Expansió per la primera columna:
\begin{equation} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} – (-2) \cdot \begin{vmatrix} 6 & 3 \ 3 & 1 \end{vmatrix} \end{equation}

Calculant els determinants menors:
\begin{equation} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (5 \cdot 1 – 3 \cdot 0) = 5. \end{equation}

\begin{equation} \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (6 \cdot 1 – 3 \cdot 3) = 6 – 9 = -3. \end{equation}

Substituint:
\begin{equation} \det(M) = (1 \cdot 5) – (-2 \cdot -3) = 5 – 6 = -1 \neq 0. \end{equation}

Com que el determinant és diferent de zero, $B$ és una base de $\mathbb{R}^3$.

Coordenades de $w = (1,0,1)$ en la base $B$

Busquem $c_1, c_2, c_3$ tal que:
\begin{equation} c_1(1,6,3) + c_2(-2,5,0) + c_3(0,3,1) = (1,0,1). \end{equation}

Sistema d’equacions:
\begin{equation} \begin{cases} c_1 – 2c_2 = 1, \\ 6c_1 + 5c_2 + 3c_3 = 0, \\ 3c_1 + c_3 = 1. \end{cases} \end{equation}

Resolent:

De la tercera equació:
\begin{equation} c_3 = 1 – 3c_1. \end{equation}

Substituint en la segona equació:
\begin{equation} 6c_1 + 5c_2 + 3(1 – 3c_1) = 0 \Rightarrow -3c_1 + 5c_2 = -3 \Rightarrow 3c_1 – 5c_2 = 3. \end{equation}

Resolem el sistema:
\begin{equation} \begin{cases} c_1 – 2c_2 = 1, \\ 3c_1 – 5c_2 = 3. \end{cases} \end{equation}

Multipliquem la primera equació per 3:
\begin{equation} \begin{cases} 3c_1 – 6c_2 = 3, \\ 3c_1 – 5c_2 = 3. \end{cases} \end{equation}

Restant:
\begin{equation} (-6c_2 + 5c_2) = (3 – 3) \Rightarrow -c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = 0. \end{equation}

Substituint en la primera equació:
\begin{equation} c_1 = 1, \quad c_3 = -2. \end{equation}

Així, les coordenades de $w$ en $B$ són:
\begin{equation} [w]_B = (1,0,-2). \end{equation}

---

Apartat c) Descriure $F$ en la base $B$

Com que $F$ està generat per $(1,6,3)$, i aquest ja és un vector de $B$, la seva expressió en $B$ és:
\begin{equation} F = {\langle (1,6,3)_C \rangle}= {\langle (1,0,0)_B \rangle} = {\langle (x,y,z)_B / y=0,\ z=0 \rangle} \end{equation}

Això indica que en la base $B$, $F$ està generat pel primer vector de la base, sent així unidimensional.