Programació lineal. Lots de perfumeria

Una empresa, que subministra els lots de perfumeria d’un supermercat, disposa al magatzem de 240 pots de gel, 95 de xampú i 270 de crema per a les mans. Els lots són de dos tipus: A i B, de forma que el lot A està format per 2 pots de gel, 1 de xampú i 3 de crema per a les mans, mentre que el lot B està format per 3 pots de gel, 1 de xampú i 2 de crema per a les mans. Cada lot de tipus A dona un benefici de 25 €, i cada lot de tipus B, de 22 €. Quants lots de cada tipus ha de preparar per maximitzar el benefici? Quin és aquest benefici màxim?

Volem trobar el màxim de:
$$z = 25x + 22y$$
subjecte a:
$$2x + 3y \leq 240 \quad \text{(deu al total de gel disponible)}$$
$$x + 95y \leq 95 \quad \text{(deu al total de xampú disponible)}$$
$$3x + 2y \leq 270 \quad \text{(deu al total de crema disponible)}$$
Condicions de no negativitat:
$$x \geq 0, \quad y \geq 0$$

$$\begin{cases}2x + 3y \leq 240 \\ x + 95y \leq 95\\3x + 2y \leq 270 \\ x \geq 0, \quad y \geq 0\end{cases}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Lot} & \textbf{Gel (pots)} & \textbf{Xampú (pots)} & \textbf{Crema (pots)} & \textbf{Benefici per lot (€)} \\
\hline
\text{A (x lots)} & 2 & 1 & 3 & 25 \\ \hline

\text{B (y lots)} & 3 & 1 & 2 & 22 \\ \hline
\textbf{Quantitat màxima disponible} & 240 & 95 & 270 & \\
\hline
\end{array}$$

Representem la regió factible i calculem els vèrtexs:
$$O(0, 0), \quad A(80, 0), \quad B(45, 50), \quad C(80, 15), \quad D(90, 0)$$

Avaluem la funció objectiu en els vèrtexs:
$$z_O = 0, \quad z_A = 2000, \quad z_B = 2225, \quad z_C = 2330, \quad z_D = 2250$$

Per tant, el màxim s’assolirà al vèrtex C, és a dir, per obtenir els màxims beneficis s’han de preparar:
$$x = 80 \quad \text{lots de tipus A} \quad \text{i} \quad y = 15 \quad \text{lots de tipus B}$$
El benefici màxim serà:
$$\boxed{z_C = 2330 \, \text{€}.}$$