Programació lineal. Fàbrica de mobles

Una fàbrica de mobles fabrica dos tipus de sillons, $S1$ i $S2$. La fàbrica compta amb dues seccions: carpinteria i tapisseria. Fabricar un silló de tipus $S1$ requereix $1$ hora de carpinteria i $2$ hores de tapisseria, mentre que un de tipus $S2$ requereix $3$ hores de carpinteria i $1$ hora de tapisseria. El personal de tapisseria treballa un total de $80$ hores, i el de carpinteria $90$ hores. Els guanys per unitat venuda de $S1$ i $S2$ són, respectivament, $60$ i $30$ euros. Calcular quants sillons de cada tipus s’han de fabricar per maximitzar els guanys.

Definició del problema

• Variables:
  • $x =$ Nombre de sillons S1 fabricats
  • $y =$ Nombre de sillons S2 fabricats
• Funció objectiu (maximitzar beneficis): $Z = 60x + 30y$
• Restriccions:
  1. Temps de carpinteria: $x + 3y \leq 90$
  2. Temps de tapisseria: $2x + y \leq 80$
  3. No negativitat: $x \geq 0, \quad y \geq 0$

$$\begin{cases}x + 3y \leq 90 \\ 2x + y \leq 80 \\ x \geq 0, \quad y \geq 0\end{cases}$$

Resoldre el problema:

Per resoldre aquest problema, cal trobar els valors de $x$ i $y$ que maximitzen la funció objectiu $Z$ respectant les restriccions.

1. Dibuixant la regió factible:
   Aquesta és la zona de solucions possibles que compleixen les restriccions. La intersecció dels diferents límits de les restriccions ens donarà els vèrtexs de la regió factible.

1. Càlcul dels punts d’intersecció:
   • Resolent el sistema de dues equacions per trobar el punt d’intersecció de les dues restriccions: $x + 3y = 90$; $2x + y = 80$
   Resolent aquest sistema de dues equacions:
   • Multiplicarem la segona equació per $3$ per poder restar: $6x + 3y = 240$ Restant les dues equacions: $5x = 150 \quad \Rightarrow \quad x = 30$. Substituïm $x = 30$ en la primera equació: $30 + 3y = 90 \quad \Rightarrow \quad y = 20$
   El punt d’intersecció és $(30, 20)$.
2. Avaluació dels vèrtexs de la regió factible: Els vèrtexs de la regió factible són:
   • $(0,0)$
   • $(40,0)$
   • $(0,30)$
   • $(30,20)$
3. Funció objectiu a cada vèrtex: Avaluem la funció objectiu $Z = 60x + 30y$ als vèrtexs:
   • A $(0, 0)$: $Z = 60(0) + 30(0) = 0$
   • A $(40, 0)$: $Z = 60(40) + 30(0) = 2400$
   • A $(0, 30)$: $Z = 60(0) + 30(30) = 900$
   • A $(30, 20)$: $Z = 60(30) + 30(20) = 1800 + 600 = 2400$

Solució òptima:

El màxim benefici es dóna en els punts $(40, 0)$ i $(30, 20)$, amb un guany de $2400$ euros. Per tant, es pot fabricar $40$ sillons de tipus S1 i $0$ de tipus S2 per obtenir aquest benefici màxim, o bé $30$ sillons de tipus S1 i $20$ de tipus S2, amb el mateix guany.