Programació lineal. Fàbrica de taulons de fusta

Una fàbrica de taulons de fusta té emmagatzemats 200 kg de pasta de fusta de baixa qualitat i 150 kg de pasta de fusta d’alta qualitat. La fàbrica elabora dos tipus de taulons: els taulons de tipus A requereixen 2 kg de pasta de baixa qualitat i 1 kg de pasta d’alta qualitat, i els de tipus B requereixen 2 kg de baixa qualitat i 3 kg d’alta qualitat. La fàbrica obté uns beneficis de 5 € per cada tauló de tipus A i de 6 € per cada tauló de tipus B. Quants taulons de cada tipus elaborarà per obtenir el màxim benefici? Aquest és un problema d’optimització lineal. Anem a resoldre’l pas a pas per determinar quants taulons de tipus A i tipus B ha de fabricar la fàbrica per maximitzar el benefici, tenint en compte les restriccions de disponibilitat de pasta de fusta.

Dades proporcionades

• Recursos disponibles:
• Pasta de baixa qualitat: 200 kg.
• Pasta d’alta qualitat: 150 kg.
• Requeriments per tauló:
• Tipus A: 2 kg de baixa qualitat, 1 kg d’alta qualitat.
• Tipus B: 2 kg de baixa qualitat, 3 kg d’alta qualitat.
• Beneficis:
• Tipus A: 5 € per tauló.
• Tipus B: 6 € per tauló.

Plantejament

Definim les variables:

• $x$: Nombre de taulons de tipus A.
• $y$: Nombre de taulons de tipus B.

Funció objectiu (benefici a maximitzar):

• Benefici total $= 5x + 6y

Restriccions:

1. Pasta de baixa qualitat: $2x + 2y \leq 200$
2. Pasta d’alta qualitat: $x + 3y \leq 150$
3. Condicions de no negativitat: $x \geq 0$, $y \geq 0$

$$\begin{cases}2x + 2y \leq 200 \\ x + 3y \leq 150 \\ x \geq 0$, $y \geq 0\end{cases}$$

Pas 1: Simplificar les restriccions

• Restricció 1: $2x + 2y \leq 200 \implies x + y \leq 100$ (dividint per $2$).
• Restricció 2: $x + 3y \leq 150$ (ja està simplificada).

Pas 2: Trobar la regió factible

Calculem els punts extrems de les rectes per definir la regió factible:

1. $x + y = 100$:

• Si $x = 0$: $y = 100$. Punt: ($0, 100$).
• Si $y = 0$: $x = 100$. Punt: ($100, 0$).

1. $x + 3y = 150$:

• Si $x = 0$: $3y = 150 \implies y = 50$. Punt: ($0, 50$).
• Si $y = 0$: $x = 150$. Punt: ($150, 0$).

Intersecció de $x + y = 100$ i $x + 3y = 150$:

Equació $1$: $x + y = 100 \implies x = 100 – y$. Substituïm a la segona: $100 – y + 3y = 150$; $100 + 2y = 150$; $2y = 50 \implies y = 25$; $x = 100 – 25 = 75$. Punt: ($75, 25$).

Regió factible:
Els vèrtexs són:

• ($0, 0$)
• ($0, 50$): Límits de $x + 3y = 150$, i $x + y = 0 + 50 = 50 \leq 100$ (factible).
• ($75, 25$): Intersecció calculada.
• ($100, 0$): Límits de $x + y = 100$, i $x + 3y = 100 + 0 = 100 \leq 150$ (factible).

Pas 3: Avaluar la funció objectiu als vèrtexs

Calculem el benefici $5x + 6y$ en cada punt:

• ($0, 0$)$\implies5 \cdot 0 + 6 \cdot 0 = 0$ €.
• ($0, 50$)$\implies5 \cdot 0 + 6 \cdot 50 = 300$ €.
• ($75, 25$)$\implies5 \cdot 75 + 6 \cdot 25 = 375 + 150 = 525$ €.
• ($100, 0$)$\implies5 \cdot 100 + 6 \cdot 0 = 500$ €.

Pas 4: Resultat

El benefici màxim s’obté al punt ($75, 25$):

• Taulons de tipus A: $75$.
• Taulons de tipus B: $25$.
• Benefici màxim: $525$ €.

Verificació

• Pasta de baixa qualitat: $2 \cdot 75 + 2 \cdot 25 = 150 + 50 = 200 kg$ (exactament el disponible).
• Pasta d’alta qualitat: $1 \cdot 75 + 3 \cdot 25 = 75 + 75 = 150 kg$ (exactament el disponible).

Tot quadra, ja que s’utilitzen tots els recursos disponibles i es respecten les restriccions.

Resposta final

La fàbrica ha d’elaborar $75$ taulons de tipus $A$ i $25$ taulons de tipus $B$ per obtenir un benefici màxim de $525$ €.

Taula de dades