Problema sobre les lleis d’Snell. Juny 2021 Selectivitat Oviedo.

Un dipòsit cúbic que conté etanol té unes parets planes de 2,5 cm de gruix fabricades amb un vidre transparent d’índex de refracció $n_v = 1,55$. Un raig de llum incideix des de l’exterior (aire) sobre la paret de vidre del dipòsit formant un angle de $\theta_1 = 41,3^{\circ}$ respecte a la normal a la paret. a) Calculeu l’angle que forma el raig de llum amb la normal a la paret en contacte amb l’etanol. b) El dipòsit es buida i es reomple amb un líquid desconegut. Si la llum incideix amb el mateix angle que en el cas anterior, el raig entra en el líquid formant un angle de $\theta_3 = 20,2^{\circ}$ amb la normal. Justifiqueu on és major la velocitat de la llum, en l’etanol o en el líquid desconegut.

Dades: $\quad n_{aire} = 1,00; \quad n_{EtOH} = 1,36$.

a) En l’esquema es poden veure les dues refraccions que tenen lloc a la paret de vidre. En la primera, la llum passa de l’aire al vidre (major índex de refracció) i es refracta acostant-se a la normal:

\begin{equation}
n_A \sin(i_1) = n_V \sin(r_1)
\end{equation}

En la segona, es refracta allunyant-se de la normal en passar
d’un medi amb major índex de refracció (vidre) a un altre amb menor índex (etanol):

\begin{equation}
n_V \sin(i_2) = n_{EtOH} \sin(r_2)
\end{equation}

D’aquesta manera:

\begin{equation}
r_1 = i_2; \quad n_V \sin(r_1) = n_{EtOH} \sin(r_2)
\end{equation}

Substituint valors:

\begin{equation}
1,00 \sin(41,3^{\circ}) = 1,36 \sin(r_2)
\end{equation}

\begin{equation}
\sin(r_2) = 0,4853; \quad r_2 = 29,0^{\circ}
\end{equation}

Si ara l’angle en la segona refracció és menor que quan s’utilitzava etanol, implica que l’índex de refracció del líquid ha de ser més gran i, en conseqüència, la seva velocitat menor que en l’etanol ($n = \frac{c}{v}$).

També podem efectuar el càlcul de l’índex de refracció del líquid utilitzant l’expressió anteriorment deduïda:

\begin{equation}
n_A \sin(i_1) = n_{Liq} \sin(r_2)
\end{equation}

\begin{equation}
1,00 \sin(41,3^{\circ}) = n_{Liq} \sin(20,2^{\circ})
\end{equation}

\begin{equation}
n_{Liq} = \frac{1,00 \sin(41,3^{\circ})}{\sin(20,2^{\circ})} = 1,91
\end{equation}