Problema sobre miopia. Càlcul de posició i mida imatge formada

Una persona miop utilitza ulleres amb lents de potència de $-2,5$ dioptries per veure objectes molt allunyats (la imatge es forma a la retina). a) Quan es treu les ulleres, a quina distància màxima pot veure nítidament? b) Un objecte de $50$ cm d’alçada es col·loca a $1$ m de les ulleres. Indica la posició i la mida de la imatge formada. Elabora el traçat de raigs corresponent.

Amb les ulleres, podem considerar que la persona veu a través d’un sistema òptic format per dues lents: les ulleres i l’ull. Podem escriure: \begin{equation} \frac{1}{s’} = \frac{1}{s} + \frac{1}{f_{\text{Ull}}} \end{equation} on $s’$ és la distància entre la lent de l’ull i la retina. Per a un objecte molt allunyat, podem escriure: \begin{equation} \frac{1}{s’_{\text{Ull}}} = \frac{1}{f_{\text{Ull}}} \end{equation} Atès que $s = -\infty$ per a objectes molt llunyans, la fórmula queda: \begin{equation} \frac{1}{s’_{\text{Ull}}} = \frac{1}{f_{\text{Ull}}} \end{equation} Quan es treu les ulleres, l’equació de les lents primes és: \begin{equation} \frac{1}{s_{\text{màx.}}} – \frac{1}{s’_{\text{Ull}}} = \frac{1}{f_{\text{Ull}}} \end{equation} La distància $s’_{\text{Ull}}$ és la mateixa que abans, ja que en tots dos casos (amb ulleres i sense), la imatge es forma nítidament sobre la retina. Per tant: \begin{equation} \frac{1}{s_{\text{màx.}}} = \frac{1}{f_{\text{Ull}}} – \frac{1}{P_{\text{Gafes}}} \end{equation} \begin{equation} s_{\text{màx.}} = \frac{1}{\frac{1}{-2,5 \text{ m}} + \frac{1}{P_{\text{Ull}}}} \end{equation} \begin{equation} s_{\text{màx.}} = 40 \text{ cm} \quad (0,4 \text{ m}) \end{equation} \textbf{b)} Per a l’objecte situat davant de les ulleres: \begin{equation} \frac{1}{s’} = \frac{1}{s} + \frac{1}{P_{\text{Gafes}}} \end{equation} Amb $P_{\text{Gafes}} = -2,5 \text{ D}$ i $s = 1 \text{ m}$: \begin{equation} \frac{1}{s’} = \frac{1}{1 \text{ m}} – \frac{1}{2,5 \text{ m}} \end{equation} \begin{equation} s’ = -0,29 \text{ m} \quad (-29 \text{ cm}) \end{equation} Això indica que la imatge es forma 29 cm darrere de les ulleres i és virtual.

El tamany de la imatge es calcula així: \begin{equation} y’ = y \cdot \frac{s’}{s} \end{equation} Substituint els valors: \begin{equation} y’ = 0,5 \text{ m} \cdot \frac{-0,29 \text{ m}}{1 \text{ m}} \end{equation} \begin{equation} y’ = -0,145 \text{ m} = -14,5 \text{ cm} \end{equation} El signe negatiu indica que la imatge és dreta. La lent és divergent, ja que la seva potència és negativa. Aquest tipus de lent és la que s’utilitza per corregir la miopia. El traçat de raigs és el següent: