Problema sobre accelerador de partícules

En un accelerador de partícules, un protó amb càrrega \( q = 1.6 \times 10^{-19} \) C i massa \( m = 1.7 \times 10^{-27} \) kg entra amb una velocitat uniforme de \( v = 2.5 \times 10^6 \) m/s perpendicularment a un camp magnètic de \( B = 6 \) T. Es demana calcular: a) La força magnètica que el camp exerceix sobre el protó. b) El radi de la trajectòria circular que descriu. c) El nombre de voltes per segon que fa el protó.

Per resoldre aquest problema, farem servir les següents fórmules de la força de Lorentz i el moviment circular d’una càrrega en un camp magnètic.

Dades del problema:

– Càrrega del protó: \( q = 1.6 \times 10^{-19} \) C

– Massa del protó: \( m = 1.7 \times 10^{-27} \) kg

– Velocitat inicial: \( v = 2.5 \times 10^6 \) m/s

– Camp magnètic: \( B = 6 \) T

a) Força magnètica sobre el protó. La força magnètica ve donada per l’expressió de Lorentz:\[F = q v B \sin(\theta)\]Com que el protó entra perpendicularment al camp magnètic, l’angle és \( 90^\circ \) i \( \sin 90^\circ = 1 \), per tant:\[F = (1.6 \times 10^{-19}) (2.5 \times 10^6) (6)\]\[F = 2.4 \times 10^{-12} \text{ N}\]

b) Radi de la trajectòria circular. La força magnètica actua com a força centrípeta:\[F = \frac{m v^2}{r}\] Aïllant \( r \):\[r = \frac{m v}{q B}\]Substituïm les dades:\[r = \frac{(1.7 \times 10^{-27}) (2.5 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) (6)}\]\[r = \frac{4.25 \times 10^{-21}}{9.6 \times 10^{-19}}\]\[r \approx 4.43 \times 10^{-3} \text{ m} = 4.43 \text{ mm}\]

c) Freqüència de gir (voltes per segon). La freqüència \( f \) es pot trobar a partir del període de rotació \( T \), on:\[T = \frac{2\pi r}{v}\]I la freqüència és:\[f = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi r}\]També podem utilitzar la fórmula de la freqüència del moviment circular en un camp magnètic:\[f = \frac{q B}{2\pi m}\]Substituïm les dades:\[f = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) (6)}{2\pi (1.7 \times 10^{-27})}\]\[f = \frac{9.6 \times 10^{-19}}{10.68 \times 10^{-27}}\]\[f \approx 8.99 \times 10^7 \text{ Hz} = 89.9 \text{ MHz}\]Això significa que el protó completa aproximadament 89.9 milions de voltes per segon.