Problema camp magnètic. Càlcul radi i nombre de voltes

Un electró $q = -1.6 \times 10^{-19}$ C, $m = 9.1 \times 10^{-31}$ kg penetra amb una velocitat de $3 \times 10^6$ m/s en direcció perpendicular a un camp magnètic uniforme de $6$ T d’un accelerador de partícules. Calcula el radi de la circumferència que descriu l’electró i el nombre de voltes que fa cada mil·lisegon.

L’electró es mou en una trajectòria circular a causa de la força magnètica, que actua com a força centrípeta. La relació entre aquestes forces és:

\begin{equation}
F_B = m \frac{v^2}{r}
\end{equation}

Com que la força magnètica també es pot expressar com:

\begin{equation}
F_B = q v B
\end{equation}

Igualant les dues expressions i aïllant ( r ):

\begin{equation}
r = \frac{m v}{q B}
\end{equation}

Substituïm els valors:

\begin{equation}
r = \frac{(9.1 \times 10^{-31}) (3 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) (6)}
\end{equation}

Càlcul del numerador:

\begin{equation}
(9.1 \times 10^{-31}) (3 \times 10^6) = 2.73 \times 10^{-24}
\end{equation}

Càlcul del denominador:

\begin{equation}
(1.6 \times 10^{-19}) (6) = 9.6 \times 10^{-19}
\end{equation}

Finalment, dividim:

\begin{equation}
r = \frac{2.73 \times 10^{-24}}{9.6 \times 10^{-19}} = 2.84 \times 10^{-6} \text{ m} = 2.84 \mu m
\end{equation}

\section{Nombre de Voltes per Mil·lisegon}
La freqüència del moviment circular ve donada per:

\begin{equation}
f = \frac{v}{2\pi r}
\end{equation}

Substituïm els valors:

\begin{equation}
f = \frac{3 \times 10^6}{2\pi (2.84 \times 10^{-6})}
\end{equation}

Càlcul del denominador:

\begin{equation}
2\pi (2.84 \times 10^{-6}) \approx 1.785 \times 10^{-5}
\end{equation}

Divisió:

\begin{equation}
f = \frac{3 \times 10^6}{1.785 \times 10^{-5}} = 1.68 \times 10^{11} \text{ Hz} = 168 \text{ GHz}
\end{equation}

Ara, calculem el nombre de voltes en 1 mil·lisegon (( 1 ) ms = ( 10^{-3} ) s):

\begin{equation}
N = f \times (10^{-3})
\end{equation}

\begin{equation}
N = (1.68 \times 10^{11}) \times (10^{-3}) = 1.68 \times 10^8
\end{equation}

Conclusió

• radi de la trajectòria circular és $2.84 \mu m$.
• L’electró fa $1.68 \times 10^8$ voltes per mil·lisegon ($168$ milions de voltes per ms).