Problema sobre moviment de càrregues elèctriques en camps magnètics uniformes

Un electró \( q = -1.6 \times 10^{-19} \) C, \( m = 9.1 \times 10^{-31} \) kg es mou en una òrbita circular de \( 2 \) mm de radi dins d’un camp magnètic de \( 0.3 \) T. Calcula la velocitat, l’energia cinètica de l’electró i el període del seu moviment.

Un electró $q = -1.6 \times 10^{-19}$ C, $m = 9.1 \times 10^{-31}$ kg es mou en una òrbita circular de $r = 2$ mm dins d’un camp magnètic de $B = 0.3$ T. Calcula la velocitat, l’energia cinètica de l’electró i el període del seu moviment.

Càlcul de la velocitat
La velocitat de l’electró es pot determinar mitjançant l’equació del moviment circular sota un camp magnètic:

\begin{equation}
v = \frac{q B r}{m}
\end{equation}

Substituint els valors:

\begin{equation}
v = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) (0.3) (2 \times 10^{-3})}{9.1 \times 10^{-31}}
\end{equation}

\begin{equation}
v = \frac{9.6 \times 10^{-23}}{9.1 \times 10^{-31}}
\end{equation}

\begin{equation}
v = 1.05 \times 10^7 \text{ m/s}
\end{equation}

Càlcul de l’energia cinètica

L’energia cinètica de l’electró ve donada per la fórmula:

\begin{equation}
K = \frac{1}{2} m v^2
\end{equation}

Substituint els valors:

\begin{equation}
K = \frac{1}{2} (9.1 \times 10^{-31}) (1.05 \times 10^7)^2
\end{equation}

\begin{equation}
K = \frac{1}{2} (9.1 \times 10^{-31}) (1.1025 \times 10^{14})
\end{equation}

\begin{equation}
K = \frac{1.002 \times 10^{-16}}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
K = 5.01 \times 10^{-17} \text{ J}
\end{equation}

\section{Càlcul del període del moviment}
El període del moviment circular es calcula com:

\begin{equation}
T = \frac{2\pi r}{v}
\end{equation}

Substituïm els valors:

\begin{equation}
T = \frac{2\pi (2 \times 10^{-3})}{1.05 \times 10^7}
\end{equation}

\begin{equation}
T = \frac{1.256 \times 10^{-2}}{1.05 \times 10^7}
\end{equation}

\begin{equation}
T = 1.2 \times 10^{-9} \text{ s} = 1.2 \text{ ns}
\end{equation}

Conclusió

• La velocitat de l’electró és $1.05 \times 10^7$ m/s.
• L’energia cinètica de l’electró és $5.01 \times 10^{-17}$ J.
• El període del moviment és $1.2$ ns.