Problema sobre kps. Examen química PAU 2017 Catalunya

Les solucions parenterals són solucions farmacològiques que s’administren per mitjà d’una injecció. Quan s’utilitza en el tractament d’uns malalts determinats, aquesta solució ha de contenir oligoelements com, per exemple, l’ió Cu$^{2+}$; en aquest cas, és molt important evitar la precipitació de l’hidròxid de coure(II) a la sang. a) Escriviu l’equilibri de solubilitat de l’hidròxid de coure(II) i calculeu-ne la solubilitat a $25$ ºC, expressada en mol$\cdot$l$^{-1}$. b) Si el pH de la sang és $7.4$, calculeu quina és la concentració màxima d’ions coure(II) que hi pot haver a la sang per a evitar que precipiti l’hidròxid de coure(II).

DADES:

• Constant del producte de solubilitat de l’hidròxid de coure(II) a $25$ ºC: $K_{ps} = 2.2\cdot10^{–20}$.
• Constant d’ionització de l’aigua a $25$ ºC: $Kw = 1.0 \cdot 10^{-14}$.

L’equilibri de solubilitat de l’hidròxid de coure(II) ((Cu(OH)_2)) es descriu per l’equació següent:

\begin{equation}
Cu(OH)_2 (s) \rightleftharpoons Cu^{2+} (aq) + 2 OH^- (aq)
\end{equation}

El producte de solubilitat $K_{ps}$ es defineix com:

\begin{equation}
K_{ps} = [Cu^{2+}][OH^-]^2
\end{equation}

On:
$$[Cu^{2+}] \text{ és la concentració de ions coure(II) en la solució mol·l}^{-1},$$
$$[OH^-] \text{ és la concentració de ions hidroxil en la solució mol·l}^{-1}.$$

Sabem que la constant de producte de solubilitat a $25$ ºC és:
$$K_{ps} = 2.2 \times 10^{-20}$$

Per calcular la solubilitat de (Cu(OH)$_2$) a 25 ºC, suposem que la concentració de (Cu$^{2+}$) és $s$ (mol·l$^{-1}$) i la concentració de (OH$^-$) serà $2s$, ja que per cada mol de (Cu(OH)$_2$) que es dissocia, es formen dos mols de (OH$^-$).

Per tant, l’equació de producte de solubilitat es converteix en:

\begin{equation}
K_{ps} = s \cdot (2s)^2 = 4s^3
\end{equation}

Substituïm el valor de (K_{ps}):

\begin{equation}
2.2 \times 10^{-20} = 4s^3
\end{equation}

Aïllant $s$:

\begin{equation}
s^3 = \frac{2.2 \times 10^{-20}}{4} = 5.5 \times 10^{-21}
\end{equation}

\begin{equation}
s = \sqrt[3]{5.5 \times 10^{-21}} \approx 1.8 \times 10^{-7} \, \text{mol·l}^{-1}
\end{equation}

Per tant, la solubilitat de (Cu(OH)$_2$) a 25 ºC és:
$$s \approx 1.8 \times 10^{-7} \, \text{mol·l}^{-1}$$

Part (b): Concentració màxima d’ions (Cu$^{2+}$) a la sang

A pH 7.4, la concentració de ( [OH$^-$] ) es pot calcular utilitzant la relació entre ( [H$^+$] ) i ( [OH$^-$] ) a partir de la constant de ionització de l’aigua ($K_w$).

Sabem que:
$$K_w = [H^+][OH^-] = 1.0 \times 10^{-14} \, \text{a 25 ºC}$$

A pH 7.4, la concentració de ( [H$^+$] ) és:
$$[H^+] = 10^{-pH} = 10^{-7.4} \approx 4.0 \times 10^{-8} \, \text{mol·l}^{-1}$$

Per tant, la concentració de ( [OH$^-$] ) serà:
$$[OH^-] = \frac{K_w}{[H^+]} = \frac{1.0 \times 10^{-14}}{4.0 \times 10^{-8}} = 2.5 \times 10^{-7} \, \text{mol·l}^{-1}$$

Ara, per evitar que precipiti (Cu(OH)$_2$), la concentració de (Cu$^{2+}$) ha de ser tal que el producte de solubilitat no s’aconsegueixi. Així que:

\begin{equation}
K_{ps} = [Cu^{2+}] [OH^-]^2
\end{equation}

Substituïm els valors coneguts:

\begin{equation}
2.2 \times 10^{-20} = [Cu^{2+}] \cdot (2.5 \times 10^{-7})^2
\end{equation}

\begin{equation}
2.2 \times 10^{-20} = [Cu^{2+}] \cdot 6.25 \times 10^{-14}
\end{equation}

Despejant ( [Cu^{2+}] ):

\begin{equation}
[Cu^{2+}] = \frac{2.2 \times 10^{-20}}{6.25 \times 10^{-14}} = 3.52 \times 10^{-7} \, \text{mol·l}^{-1}
\end{equation}

Per tant, la concentració màxima d’ions (Cu$^{2+}$) que pot haver-hi a la sang per evitar que precipiti (Cu(OH)$_2$) és:

$$[Cu^{2+}] \approx 3.5 \times 10^{-7} \, \text{mol·l}^{-1}$$