Problema distribució normal. Examen +25 Estadística 2013

En un país, el quocient inteŀlectual (QI) de la població es distribueix segons una llei de probabilitat normal amb mitjana $100$ i desviació típica $10$. Es demana: a) Determineu el percentatge de la població que ha obtingut un QI superior a $120$. b) Determineu el percentatge de la població que ha obtingut un QI inferior a $90$. c) Determineu el percentatge de la població que ha obtingut un QI entre $90$ i $115$. d) Calculeu el valor QI que conté el $10\%$ de la població amb els valors més alts. e) Calculeu el valor QI que conté el $25\%$ de la població amb els valors més baixos.

---

Dades del problema

La variable $QI$ segueix una distribució normal amb:

• Mitjana $\mu = 100$
• Desviació típica $\sigma = 10$

Això significa que el QI estàndarditzat (variable típica $Z$) es calcula com: $Z =\displaystyle \frac{X – \mu}{\sigma}$

on $X$ és el valor de $QI$ que volem analitzar.

---

Apartat a) Percentatge amb QI superior a $120$

Volem trobar: $P(QI > 120) = 1 – P(QI \leq 120)$

1. Primer, normalitzem $X = 120$ a la distribució normal estàndard ($Z$):

$Z = \displaystyle\frac{120 – 100}{10} = \displaystyle\frac{20}{10} = 2.0$

2. Ara, busquem el valor de la funció de distribució acumulada (CDF) per $Z = 2.0$:

$$P(Z \leq 2.0) = 0.97725$$

3. Finalment, restem aquest valor d’$1$ per obtenir la probabilitat complementària:

$$P(QI > 120) = 1 – 0.97725 = 0.02275$$

Resposta: Aproximadament $2,28\%$ de la població té un QI superior a $120$.

---

Volem trobar: $P(QI < 90)$

1. Normalitzem $X = 90$:

$$Z =\displaystyle \frac{90 – 100}{10} =\displaystyle \frac{-10}{10} = -1.0$$

2. Busquem $P(Z \leq -1.0)$ a la taula de la normal:

$$P(Z \leq -1.0) = 0.15865$$

Resposta: Aproximadament $15,87\%$ de la població té un QI inferior a $90$.

---

Apartat c) Percentatge amb QI entre $90$ i $115$

Volem trobar: $P(90 \leq QI \leq 115) = P(QI \leq 115) – P(QI \leq 90)$

1. Normalitzem $X = 115$:

$$Z = \displaystyle\frac{115 – 100}{10} =\displaystyle \frac{15}{10} = 1.5$$

2. Busquem $P(Z \leq 1.5)$:

$$P(Z \leq 1.5) = 0.93319$$

3. Ja tenim $P(QI \leq 90) = 0.15865$ del pas anterior.
4. Fem la resta:

$$P(90 \leq QI \leq 115) = 0.93319 – 0.15865 = 0.77454$$

Resposta: Aproximadament $77,45\%$ de la població té un QI entre $90$ i $115$.

---

Apartat d) QI que conté el $10\%$ de la població amb els valors més alts

Volem trobar el valor $X$ tal que: $P(QI > X) = 0.10$

1. Això significa que:

$$P(QI \leq X) = 0.90$$

2. A la taula de la normal, el percentil $90\%$ correspon a:

$$Z = 1.2816$$

3. Desnormalitzem per trobar $X$:

$$X = \mu + Z \cdot \sigma = 100 + (1.2816 \cdot 10) = 100 + 12.82 = 112.82$$

Resposta: El valor de QI que conté el $10\%$ més alt de la població és $112,82$.

---

Apartat e) QI que conté el $25\%$ de la població amb els valors més baixos

Volem trobar $X$ tal que: $P(QI \leq X) = 0.25$

1. A la taula de la normal, el percentil $25\%$ correspon a:

$$Z = -0.6745$$

2. Desnormalitzem per trobar $X$:

$$X = \mu + Z \cdot \sigma = 100 + (-0.6745 \cdot 10) = 100 – 6.75 = 93.26$$

Resposta: El valor de QI que conté el $25\%$ de la població amb els valors més baixos és $93,26$.

---

Resum de resultats

Apartat	Càlcul	Resultat
a) $P(QI > 120)$	$1 – P(Z \leq 2.0)$	2,28%
b) $P(QI < 90)$	$P(Z \leq -1.0)$	15,87%
c) $P(90 \leq QI \leq 115)$	$P(Z \leq 1.5) – P(Z \leq -1.0)$	77,45%
d) QI del 10% superior	$X = \mu + Z \cdot \sigma$ amb $Z = 1.2816$	112,82
e) QI del 25% inferior	$X = \mu + Z \cdot \sigma$ amb $Z = -0.6745$	93,26