Problema electromagnetisme. Juliol 2021

Un protó penetra en una zona on hi ha un camp magnètic $\vec{B} = 2 \, \hat{\imath} \, \text{T}$, amb velocitat $\vec{v} = 2 \cdot 10^6 \, \hat{\jmath} \, \text{m/s}$. a) Calculeu el vector força que actua sobre el protó. b) Calculeu el radi de curvatura de la trajectòria. c) Calculeu el període de la trajectòria.

Calculem la força magnètica, o força de Lorentz, sobre el protó:

$$\vec{F}_m = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B}) = 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot
\begin{vmatrix}
\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\
0 & 2 \cdot 10^6 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix}$$

$$\vec{F}_m = 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot (-4 \cdot 10^6 \, \hat{k}) = -6,4 \cdot 10^{-13} \, \hat{k} \, \text{N}$$

El protó està sotmès a la força de Lorentz. Aquesta força constant és perpendicular en tot moment a la intensitat del camp magnètic i a la velocitat del protó. A causa d’això, la força de Lorentz actua com a força centrípeta, obligant el protó a seguir una trajectòria circular.

$$\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$$

$$F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \alpha$$

$$F_{\text{centrípeta}} = m \cdot a_n \quad \Rightarrow \quad q \cdot v \cdot B \cdot \sin \alpha = m \cdot \frac{v^2}{R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{m \cdot v}{q \cdot B \cdot \sin \alpha}$$

$$R = \frac{1,7 \cdot 10^{-27} \cdot 2 \cdot 10^6}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 2 \cdot \sin 90^\circ} = 0,011 \, \text{m} = 1,1 \, \text{cm}$$

El temps que tarda el protó en descriure una òrbita completa, amb velocitat constant, és el període.

$$v = \frac{2\pi R}{T} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi \cdot 0,011}{2 \cdot 10^6} = 3,46 \cdot 10^{-8} \, \text{s}$$