Problema d’optimització

Problema d’optimització
3 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Càlcul, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Es vol construir un safareig de forma cilíndrica. Trobar les dimensions que ha de tenir perquè el volum d’aigua continguda sigui màxim, tenint en compte que només es compta amb $300$ m$^2$ de rajola per enrajolar-la (sòl inclòs).

Per resoldre aquest problema, necessitem maximitzar el volum de la piscina cilíndrica sota la restricció de l’àrea disponible per alicat-la. Procedirem de la següent manera:

  1. Definir les variables:
  • $r$ és el radi de la base de la piscina.
  • $h$ és l’alçada de la piscina.
  1. Àrea de la superfície de la piscina:
    L’àrea total a alicatar inclou l’àrea de la base i l’àrea lateral del cilindre.
  • L’àrea de la base del cilindre és $A_{\text{base}} = \pi r^2$.
  • L’àrea lateral del cilindre és $A_{\text{lateral}} = 2\pi r h$. Aleshores, l’àrea total és:
    $$A_{\text{total}} = \pi r^2 + 2\pi r h$$
    Com que només es disposa de $300$ m² de rajola, tenim la restricció:
    $$\pi r^2 + 2\pi r h = 300$$
  1. Volum de la piscina:
    El volum $V$ d’un cilindre està donat per:
    $$V = \pi r^2 h$$
    Volem maximitzar $V$ subjecte a la restricció de l’àrea.
  2. Utilitzar la restricció per aïllar $h$:
    A partir de la restricció, aïllem $h$:
    $$2\pi r h = 300 – \pi r^2$$
    $$h = \frac{300 – \pi r^2}{2\pi r}$$
  3. Substituir $h$ en l’equació del volum:
    Substituïm $h$ en l’equació del volum per obtenir una funció de $r$ només:
    $$V(r) = \pi r^2 \cdot \frac{300 – \pi r^2}{2\pi r}$$
    $$V(r) = \frac{r(300 – \pi r^2)}{2}$$
    $$V(r) = 150r – \frac{\pi r^3}{2}$$
  4. Maximitzar el volum:
    Per maximitzar $V(r)$, prenem la derivada respecte a $r$ i l’igualem a zero:
    $$\frac{dV}{dr} = 150 – \frac{3\pi r^2}{2}$$
    Igualant a zero:
    $$150 – \frac{3\pi r^2}{2} = 0$$
    $$\frac{3\pi r^2}{2} = 150$$
    $$r^2 = \frac{300}{3\pi} = \frac{100}{\pi}$$
    $$r = \sqrt{\frac{100}{\pi}} = \frac{10}{\sqrt{\pi}}$$
  5. Calcular $h$:
    Ara que tenim $r$, substituïm en l’equació per a $h$:
    $$h = \frac{300 – \pi r^2}{2\pi r} = \frac{300 – 100}{2\pi \left(\frac{10}{\sqrt{\pi}}\right)} = \frac{200}{20\sqrt{\pi}} = \frac{10}{\sqrt{\pi}}$$
  6. Conclusió:
    Les dimensions que maximitzen el volum de la piscina són:
  • Radi: $r = \frac{10}{\sqrt{\pi}}$ metres.
  • Alçada: $h = \frac{10}{\sqrt{\pi}}$ metres. Això significa que la piscina tindrà el volum màxim quan tingui forma d’un cilindre on l’alçada sigui igual al radi.
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *