Es vol construir un safareig de forma cilíndrica. Trobar les dimensions que ha de tenir perquè el volum d’aigua continguda sigui màxim, tenint en compte que només es compta amb $300$ m$^2$ de rajola per enrajolar-la (sòl inclòs).
Per resoldre aquest problema, necessitem maximitzar el volum de la piscina cilíndrica sota la restricció de l’àrea disponible per alicat-la. Procedirem de la següent manera:
- Definir les variables:
- $r$ és el radi de la base de la piscina.
- $h$ és l’alçada de la piscina.
- Àrea de la superfície de la piscina:
L’àrea total a alicatar inclou l’àrea de la base i l’àrea lateral del cilindre.
- L’àrea de la base del cilindre és $A_{\text{base}} = \pi r^2$.
- L’àrea lateral del cilindre és $A_{\text{lateral}} = 2\pi r h$. Aleshores, l’àrea total és:
$$A_{\text{total}} = \pi r^2 + 2\pi r h$$
Com que només es disposa de $300$ m² de rajola, tenim la restricció:
$$\pi r^2 + 2\pi r h = 300$$
- Volum de la piscina:
El volum $V$ d’un cilindre està donat per:
$$V = \pi r^2 h$$
Volem maximitzar $V$ subjecte a la restricció de l’àrea.
- Utilitzar la restricció per aïllar $h$:
A partir de la restricció, aïllem $h$:
$$2\pi r h = 300 – \pi r^2$$
$$h = \frac{300 – \pi r^2}{2\pi r}$$
- Substituir $h$ en l’equació del volum:
Substituïm $h$ en l’equació del volum per obtenir una funció de $r$ només:
$$V(r) = \pi r^2 \cdot \frac{300 – \pi r^2}{2\pi r}$$
$$V(r) = \frac{r(300 – \pi r^2)}{2}$$
$$V(r) = 150r – \frac{\pi r^3}{2}$$
- Maximitzar el volum:
Per maximitzar $V(r)$, prenem la derivada respecte a $r$ i l’igualem a zero:
$$\frac{dV}{dr} = 150 – \frac{3\pi r^2}{2}$$
Igualant a zero:
$$150 – \frac{3\pi r^2}{2} = 0$$
$$\frac{3\pi r^2}{2} = 150$$
$$r^2 = \frac{300}{3\pi} = \frac{100}{\pi}$$
$$r = \sqrt{\frac{100}{\pi}} = \frac{10}{\sqrt{\pi}}$$
- Calcular $h$:
Ara que tenim $r$, substituïm en l’equació per a $h$:
$$h = \frac{300 – \pi r^2}{2\pi r} = \frac{300 – 100}{2\pi \left(\frac{10}{\sqrt{\pi}}\right)} = \frac{200}{20\sqrt{\pi}} = \frac{10}{\sqrt{\pi}}$$
- Conclusió:
Les dimensions que maximitzen el volum de la piscina són:
- Radi: $r = \frac{10}{\sqrt{\pi}}$ metres.
- Alçada: $h = \frac{10}{\sqrt{\pi}}$ metres. Això significa que la piscina tindrà el volum màxim quan tingui forma d’un cilindre on l’alçada sigui igual al radi.
Us agrada:
M'agrada S'està carregant...