Gimnàs i piscina. Probabilitat

Un centre esportiu té dues zones: la zona de la piscina ($A1$) i la zona del gimnàs ($A2$). Els abonats han de triar a quina de les dues zones (només una) volen accedir i també si volen anar al centre esportiu en horari de matí (opció $B1$) o en horari de tarda (opció $B2$). Si seleccionem un abonat del centre a l’atzar, sabem que la probabilitat que utilitzi la zona de la piscina és de $0,4$ i la probabilitat que utilitzi el gimnàs és de $0,6$. D’altra banda, la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza la zona de la piscina, és de $0,55$, mentre que la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza el gimnàs, és de $0,45$. a) Quina és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí? b) Si sabem que està abonat en horari de matí, quina és la probabilitat que utilitzi la zona de piscina?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem el Teorema de la Probabilitat Total. La probabilitat que un individu estigui abonat en horari de matí $P(B1)$ es pot calcular tenint en compte les dues zones (piscina o gimnàs) i les probabilitats condicionades que tenim.

El Teorema de la Probabilitat Total ens diu que:

$$P(B1) = P(B1 | A1) \cdot P(A1) + P(B1 | A2) \cdot P(A2)$$

On:

• $P(B1 | A1)$ és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí, sabent que utilitza la piscina, i val $0,55$.
• $P(A1)$ és la probabilitat que l’individu utilitzi la piscina, i val $0,4$.
• $P(B1 | A2)$ és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí, sabent que utilitza el gimnàs, i val $0,45$.
• $P(A2)$ és la probabilitat que l’individu utilitzi el gimnàs, i val $0,6$.

Apliquem les dades a la fórmula:

$$P(B1) = 0,55 \cdot 0,4 + 0,45 \cdot 0,6$$

Fem els càlculs:

$$P(B1) = 0,55 \cdot 0,4 + 0,45 \cdot 0,6 = 0,22 + 0,27 = 0,49$$

Per tant, la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí és $P(B1) = 0,49$, o un $49\%$.

Per trobar la probabilitat que l’individu utilitzi la zona de la piscina, sabent que està abonat en horari de matí, hem d’aplicar el teorema de Bayes. Aquest teorema ens permet calcular la probabilitat condicionada inversa.

El teorema de Bayes és:

$$P(A1 | B1) = \frac{P(B1 | A1) \cdot P(A1)}{P(B1)}$$

On:

• $P(A1 | B1)$ és la probabilitat que utilitzi la piscina sabent que està abonat en horari de matí (aquesta és la probabilitat que volem calcular).
• $P(B1 | A1)$ és la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, sabent que utilitza la piscina, i val $0,55$.
• $P(A1)$ és la probabilitat que utilitzi la piscina, i val $0,4$.
• $P(B1)$ és la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, que hem calculat abans i val $0,49$.

Ara substituïm les dades a la fórmula:

$$P(A1 | B1) = \frac{0,55 \cdot 0,4}{0,49}$$

Fem els càlculs:

$$P(A1 | B1) = \frac{0,22}{0,49} \approx 0,44898$$

Per tant, la probabilitat que l’individu utilitzi la zona de piscina, sabent que està abonat en horari de matí, és aproximadament un $44,9\%$.