Problema del 2022, juny, sèrie 5. Selectivitat Física Catalunya

La sirena d’una alarma d’un edifici emet una ona sonora de $0,136$ m de longitud d’ona, que en l’aire es propaga a una velocitat d’uns $340$ m/s. L’ona sonora arriba a un observador que està aturat en un semàfor, segons la direcció de l’eix $x$ en sentit positiu i amb una amplitud $A_0$.

a) Escriviu l’equació de l’ona harmònica plana, $A(x, t)$, que arriba a l’observador. Suposeu que la fase inicial és zero.

b) A continuació, el semàfor es posa verd, i l’observador es posa en moviment i s’acosta a l’alarma a una velocitat constant. En aquestes condicions, l’observador percep un canvi de la freqüència de l’ona. Quin canvi de la freqüència percep l’observador?

Quin o quins dels arguments següents descriuen millor aquest fenomen?:
1. El canvi de la freqüència és degut al moviment de la font.
2. L’aparent canvi de la freqüència és degut al moviment relatiu entre la font i l’observador.
3. El canvi en la longitud d’ona de la font és degut al moviment de l’observador.
4. L’aparent canvi de la longitud d’ona és degut al moviment de l’observador.

Justifiqueu la tria i per què heu descartat la resta d’arguments, i indiqueu el fenomen en què us heu basat.

Dades:

\[\lambda = 0,136 \, \text{m}, \quad v = 340 \, \text{m/s}.\]

•     Nombre d’ona:

    \[    k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0,136} \approx 46,17 \, \text{m}^{-1}.    \]

•     Freqüència:

    \[    f = \frac{v}{\lambda} = \frac{340}{0,136} \approx 2500 \, \text{Hz}.    \]

•     Freqüència angular:

    \[    \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2500 \approx 15707,96 \, \text{rad/s}.    \]

a) L’equació general d’una ona harmònica plana que es propaga en la direcció positiva de l’eix \( x \) és:

\[A(x, t) = A_0 \sin(kx – \omega t + \varphi).\]

Com que la fase inicial és zero (\( \varphi = 0 \)), l’equació es redueix a:

\[A(x, t) = A_0 \sin(kx – \omega t).\]

Substituïm els valors:

\[k \approx 46,17 \, \text{m}^{-1}, \quad \omega \approx 15707,96 \, \text{rad/s}.\]

Per tant:

\[A(x, t) = A_0 \sin(46,17x – 15707,96t).\]

Aquesta equació es pot expressar de manera equivalent com:

\[A(x, t) = A_0 \sin\left(46,17 \left(x – \frac{15707,96}{46,17}t\right)\right) = A_0 \sin\left(46,17 (x – 340t)\right),\]

o també:

\[A(x, t) = A_0 \sin\left(2\pi \left(\frac{x}{0,136} – 2500t\right)\right).\]

$\textbf{Resposta}$:

\[\boxed{A(x, t) = A_0 \sin(46,17x – 15707,96t)}.\]

b) Quan l’observador s’acosta a l’alarma (font fixa) a una velocitat \( v_o \), la freqüència percebuda canvia a causa de l’efecte Doppler. La freqüència percebuda és:

\[f’ = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 2500 \left( \frac{340 + v_o}{340} \right) \, \text{Hz}.\]

El canvi de freqüència és:

\[\Delta f = f’ – f = 2500 \cdot \frac{v_o}{340} \, \text{Hz}.\]

La freqüència percebuda augmenta (\( f’ > f \)) perquè l’observador s’acosta a la font, resultant en un so més agut.

$\textbf{Justificació de les opcions múltiples}:$

• El canvi de la freqüència és degut al moviment de la font: \textbf{Incorrecte}. La font (sirena) és fixa, per tant, no hi ha moviment de la font que afecti la freqüència.
• L’aparent canvi de la freqüència és degut al moviment relatiu entre la font i l’observador: \textbf{Correcte}. L’efecte Doppler es produeix pel moviment relatiu entre la font i l’observador. En aquest cas, l’observador s’acosta a la font fixa, provocant un augment aparent de la freqüència.
• El canvi en la longitud d’ona de la font és degut al moviment de l’observador: \textbf{Incorrecte}. La longitud d’ona emesa per la font (\( \lambda = 0,136 \, \text{m} \)) no canvia, ja que depèn només de la font i del medi.
• L’aparent canvi de la longitud d’ona és degut al moviment de l’observador: \textbf{Incorrecte}. Tot i que l’observador pot percebre una longitud d’ona aparent diferent, el fenomen rellevant és el canvi de freqüència, i el moviment relatiu entre la font i l’observador és el que explica l’efecte Doppler.

$\textbf{Explicació del fenomen}$: L’opció 2 és la més adequada perquè descriu correctament l’efecte Doppler. L’observador percep un augment de la freqüència (canvi aparent) perquè, en acostar-se a la font, la separació temporal entre les crestes de l’ona disminueix, provocant un so més agut. L’opció 2 defineix correctament el moviment relatiu, sense especificar si la font o l’observador estan en repòs. Aquest fenomen es coneix com l’$\textbf{efecte Doppler}$.