Efecte Doppler amb una ambulància

Una ambulància, que es desplaça per una carretera a \( 72 \, \text{km/h} \), porta encesa la seva sirena, que emet un so de \( 420 \, \text{Hz} \). Calculeu la freqüència que percebrà el conductor d’un automòbil que transita per la mateixa carretera en sentit contrari amb una velocitat de \( 50 \, \text{km/h} \), segons s’apropi o s’allunyi de l’ambulància.

En primer lloc, convertim les velocitats al Sistema Internacional (SI):

\[v_{\text{ambulància}} = 72 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} = 20 \, \text{m/s}\]

\[v_{\text{automòbil}} = 50 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} = 13.89 \, \text{m/s}\]

La velocitat del so a l’aire és \( v = 340 \, \text{m/s} \).

$\textbf{Quan s’apropen:}$

Quan l’ambulància (emissor) i l’automòbil (receptor) s’apropen, prenem el signe negatiu per a la velocitat de l’emissor (\( v_F = 20 \, \text{m/s} \)) i positiu per a la velocitat del receptor (\( v_R = 13.89 \, \text{m/s} \)) en la fórmula de l’efecte Doppler:

\[f’ = f \cdot \frac{v + v_R}{v – v_F}\]

Substituïm els valors (\( f = 420 \, \text{Hz} \), \( v = 340 \, \text{m/s} \), \( v_R = 13.89 \, \text{m/s} \), \( v_F = 20 \, \text{m/s} \)):

\[f’ = 420 \cdot \frac{340 + 13.89}{340 – 20} = 420 \cdot \frac{353.89}{320} \approx 464.5 \, \text{Hz}\]

$\textbf{Quan s’allunyen:}$

Quan l’ambulància i l’automòbil s’allunyen, prenem el signe positiu per a la velocitat de l’emissor (\( v_F = 20 \, \text{m/s} \)) i negatiu per a la velocitat del receptor (\( v_R = 13.89 \, \text{m/s} \)):

\[f” = f \cdot \frac{v – v_R}{v + v_F}\]

Substituïm els valors:

\[f” = 420 \cdot \frac{340 – 13.89}{340 + 20} = 420 \cdot \frac{326.11}{360} \approx 380.3 \, \text{Hz}\]

$\textbf{Resposta:}$

• Quan s’apropen: \( f’ \approx 464.5 \, \text{Hz} \)

• Quan s’allunyen: \( f” \approx 380.3 \, \text{Hz} \)