Efecte Doppler amb dos trens

Dos trens que viatgen a \( 200 \, \text{km/h} \) i \( 250 \, \text{km/h} \) es creuen en un punt i fan sonar els seus xiulets a \( 400 \, \text{Hz} \). Quina freqüència perceben els viatgers?

Dos trens que viatgen a \( 200 \, \text{km/h} \) i \( 250 \, \text{km/h} \) es creuen en un punt i fan sonar els seus xiulets a \( 400 \, \text{Hz} \). Quina freqüència perceben els viatgers?

Cal convertir les velocitats al Sistema Internacional (SI), ja que no seria correcte sumar la velocitat del so, en \( \text{m/s} \), amb la dels trens, en \( \text{km/h} \):

\[v_1 = 200 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} = 55.56 \, \text{m/s}\]

\[v_2 = 250 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} = 69.44 \, \text{m/s}\]

La velocitat del so a l’aire és \( v = 340 \, \text{m/s} \). Cal tenir en compte que el paper de l’observador i de l’emissor no és simètric en aquest problema, ja que ambdós trens tenen velocitats diferents.

$\textbf{Cas 1: L’emissor és el tren que es mou a \( 200 \, \text{km/h} \)$, i el receptor és el que es mou a \( 250 \, \text{km/h} \).}

Com que ambdós trens s’aproximen, prenem el signe positiu per a la velocitat de l’observador (\( v_R \)) i negatiu per a la velocitat de l’emissor (\( v_F \)) en la fórmula de l’efecte Doppler:

\[f’ = f \cdot \frac{v + v_R}{v – v_F}\]

Substituïm els valors (\( f = 400 \, \text{Hz} \), \( v = 340 \, \text{m/s} \), \( v_R = 69.44 \, \text{m/s} \), \( v_F = 55.56 \, \text{m/s} \)):

\[f’ = 400 \cdot \frac{340 + 69.44}{340 – 55.56} = 400 \cdot \frac{409.44}{284.44} = 575.8 \, \text{Hz}\]

Per tant, els viatgers del tren que es mou a \( 250 \, \text{km/h} \) perceben una freqüència de \( 575.8 \, \text{Hz} \).

$\textbf{Cas 2: L’emissor és el tren que es mou a \( 250 \, \text{km/h} \)$, i el receptor és el que es mou a \( 200 \, \text{km/h} \).}

Com que ambdós trens s’aproximen, utilitzem la mateixa fórmula amb els signes corresponents (\( v_R = 55.56 \, \text{m/s} \), \( v_F = 69.44 \, \text{m/s} \)):

\[f’ = f \cdot \frac{v + v_R}{v – v_F}\]

Substituïm els valors:

\[f’ = 400 \cdot \frac{340 + 55.56}{340 – 69.44} = 400 \cdot \frac{395.56}{270.56} = 584.8 \, \text{Hz}\]

En aquest cas, els viatgers del tren que es mou a \( 200 \, \text{km/h} \) perceben una freqüència de \( 584.8 \, \text{Hz} \).

$\textbf{Resposta:}$

• Els viatgers del tren que es mou a \( 250 \, \text{km/h} \) perceben una freqüència de \( 575.8 \, \text{Hz} \).

• Els viatgers del tren que es mou a \( 200 \, \text{km/h} \) perceben una freqüència de \( 584.8 \, \text{Hz} \).

Observem que els viatgers del tren més lent (\( 200 \, \text{km/h} \)) perceben una freqüència major perquè la velocitat relativa de l’emissor respecte a l’observador és més gran en aquest cas.