Interferència d’ones

Una font emet una ona d’amplitud \( 0.02 \, \text{cm} \) i freqüència \( 50 \, \text{Hz} \) que es fa passar per dues escletxes i interfereixen. La seva velocitat és \( 20 \, \text{m/s} \). Indiqueu el valor de l’amplitud a \( 20 \, \text{m} \) d’una escletxa i a \( 25 \, \text{m} \) de l’altra.

El resultat d’interferir dues ones coherents és una altra ona amb la mateixa freqüència i longitud d’ona que les originals, però amb una amplitud donada per:

\[A_r = 2A \cdot \cos\left( \frac{k \cdot (x_1 – x_2)}{2} \right)\]

on \( A \) és l’amplitud de l’ona original, \( k \) és el nombre d’ona, i \( x_1 – x_2 \) és la diferència de camí entre les dues escletxes.

Com que la velocitat de propagació ve donada per:

\[v = \frac{\omega}{k}\]

tenim que:

\[k = \frac{\omega}{v} = \frac{2\pi f}{v} = \frac{2\pi \cdot 50}{20} = 5\pi \, \text{m}^{-1}\]

La longitud d’ona (\( \lambda \)) es calcula com:

\[\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5} \, \text{m} = 0.4 \, \text{m}\]

Per tant, la semilongitud d’ona és:

\[\frac{\lambda}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \, \text{m}\]

La diferència de camí entre les dues escletxes és:

\[x_1 – x_2 = 25 – 20 = 5 \, \text{m}\]

Substituïm els valors a la fórmula de l’amplitud (\( A = 0.02 \, \text{cm} = 0.0002 \, \text{m} \)):

\[A_r = 2 \cdot 0.0002 \cdot \cos\left( \frac{5\pi \cdot (25 – 20)}{2} \right) = 0.0004 \cdot \cos\left( \frac{5\pi \cdot 5}{2} \right) = 0.0004 \cdot \cos(12.5\pi)\]

Com que \( 12.5\pi = \frac{25\pi}{2} \), i \( \cos\left( \frac{25\pi}{2} \right) = \cos\left( \frac{(12 \cdot 2 + 1)\pi}{2} \right) = 0 \), tenim:

\[A_r = 0.0004 \cdot 0 = 0 \, \text{m}\]

Observem que la diferència de camí és un múltiple imparell de la semilongitud d’ona:

\[x_1 – x_2 = 5 \, \text{m}, \quad \frac{\lambda}{2} = 0.2 \, \text{m}\]

Comprovem si es compleix la condició d’interferència destructiva:

\[x_1 – x_2 = (2n + 1) \cdot \frac{\lambda}{2}\]

Substituïm:

\[5 = (2n + 1) \cdot 0.2\]

\[2n + 1 = \frac{5}{0.2} = 25\]

\[2n = 24 \implies n = 12\]

Efectivament, \( 5 \, \text{m} = (2 \cdot 12 + 1) \cdot 0.2 = 25 \cdot 0.2 \), cosa que indica que la diferència de camí és un múltiple imparell de la semilongitud d’ona, confirmant una interferència destructiva.

$\textbf{Resposta:}$

L’amplitud al punt indicat és \( A_r = 0 \, \text{m} \), ja que es produeix una interferència destructiva completa.